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1、 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 函数与极限 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二 映射 三 函数 一 集合 第一节 映射与函数 目录 上页 下页 返回 结束 元素 a 属于集合 M 记作 元素 a 不属于集合 M 记作 一 集合 1 定义及表示法 定义 1 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 组成集合的事物称为元素 不含任何元素的集合称为空集 记作 或 注 M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 表示 M 中排除 0 与负数的集 简称集 简称元 目录 上页 下页 返回 结束 表示法 1 列举法 按某种方式列出集合中的全体元
2、素 例 有限集合 自然数集 2 描述法 x 所具有的特征 例 整数集合或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 目录 上页 下页 返回 结束 无限区间 点的 邻 域 其中 a 称为邻域中心 称为邻域半径 半开区间 去心 邻域 左 邻域 右 邻域 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集 或称 B 包含 A 2 集合之间的关系及运算 定义2 则称 A 若且 则称 A 与 B 相等 例如 显然有下列关系 若设有集合 记作 记作 必有 目录 上页 下页 返回 结束 定义 3 给定两个集合 A B 并集 交集 且 差集且 定义下列运算 余集 直积 特例 记 为
3、平面上的全体点集 或 目录 上页 下页 返回 结束 二 映射 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 引例1 目录 上页 下页 返回 结束 引例2 引例3 点集 点集 向 y 轴投影 目录 上页 下页 返回 结束 定义4 设 X Y 是两个非空集合 若存在一个对应规 则 f 使得有唯一确定的 与之对应 则称 f 为从 X 到 Y 的映射 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 集合 X 称为映射 f 的定义域 Y 的子集称为 f 的 值域 注意 1 映射的三要素 定义域 对应规
4、则 值域 2 元素 x 的像 y 是唯一的 但 y 的原像不一定唯一 目录 上页 下页 返回 结束 对映射 若 则称 f 为满射 若 有 则称 f 为单射 若 f 既是满射又是单射 则称 f 为双射 或一一映射 引例2 3 引例2 引例2 目录 上页 下页 返回 结束 例1 海伦公式 例2 如图所示 对应阴影部分的面积 则在数集自身之间定义了一种映射 满射 例3 如图所示 则有 满射 满射 目录 上页 下页 返回 结束 X 数集 或点集 说明 在不同数学分支中有不同的惯用 X Y 数集 f 称为X 上的泛函 X X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数 映射又称为算子 名称
5、例如 目录 上页 下页 返回 结束 定义域 三 函数 1 函数的概念 定义5 设数集则称映射为定义在 D 上的函数 记为 称为值域 函数图形 自变量因变量 目录 上页 下页 返回 结束 对应规则 值域 定义域 例如 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法 解析法 图像法 列表法 使表达式或实际问题有意义的自变量集合 定义域值域 又如 绝对值函数 定义域 值 域 对无实际背景的函数 书写时可以省略定义域 对实际问题 书写函数时必须写出定义域 目录 上页 下页 返回 结束 例4 已知函数 解 及写出 f x 的定义域及值域 并求 f x 的定义域 值域 目录 上页 下页 返回 结束 2 函数的几种
6、特性 设函数且有区间 1 有界性 使称 使称 说明 还可定义有上界 有下界 无界 2 单调性 为有界函数 在 I 上有界 使 若对任意正数 M 均存在 则称 f x 无界 称 为有上界 称 为有下界 当 称 为 I 上的 称 为 I 上的 单调增函数 单调减函数 见 P11 目录 上页 下页 返回 结束 3 奇偶性 且有 若则称 f x 为偶函数 若则称 f x 为奇函数 说明 若在 x 0 有定义 为奇函数时 则当 必有 例如 偶函数 双曲余弦 记 目录 上页 下页 返回 结束 又如 奇函数 双曲正弦 记 再如 奇函数 双曲正切 记 说明 给定 则 偶函数 奇函数 目录 上页 下页 返回 结
7、束 4 周期性 且 则称为周期函数 若 称 l 为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 狄利克雷函数 x 为有理数 x 为无理数 目录 上页 下页 返回 结束 3 反函数与复合函数 1 反函数的概念及性质 若函数为单射 则存在一新映射 习惯上 的反函数记成 称此映射为 f 的反函数 其反函数 减 减 1 y f x 单调递增 且也单调递增 性质 使其中 目录 上页 下页 返回 结束 2 函数与其反函数 的图形关于直线 对称 例如 对数函数 互为反函数 它们都单调递增 其图形关于直线对称 指数函数 目录 上页 下页 返回 结束 2 复合函数 则
8、 设有函数链 称为由 确定的复合函数 u 称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如 函数链 但可定义复合函数 时 虽不能在自然域 R下构成复合函数 可定义复合函数 当改 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 约定 为简单计 书写复合函数时不一定写出其定义域 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件 目录 上页 下页 返回 结束 4 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 例如 并可用一个式子表示的函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 称为
9、初等函数 可表为故为初等函数 又如 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 自学 P17 P20 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例 符号函数 当 x 0 当 x 0 当 x 0 取整函数 当 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 x 换为 f x 例5 解 目录 上页 下页 返回 结束 例6 求的反函数及其定义域 解 当 时 则 当时 则 当 时 则 反函数 定义域为 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1 集合及映射的概念 定义域 对应规律 3 函数的特性有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 初等函数的结构 作业 P21 4 5 8 10 6 8 9 13 16 17 18 2 函数
10、的定义及函数的二要素 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 且 备用题 证明 证 令则 由 消去得 时 其中 a b c 为常数 且为奇函数 为奇函数 1 设 目录 上页 下页 返回 结束 2 设函数的图形与 均对称 求证是周期函数 证 由的对称性知 于是 故是周期函数 周期为 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返
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