塑性力学讲义-全量理论与增量理论

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1、 4 1 建立塑性本构关系的基本要素 4 2 Hooke定律 4 3 全量型本构方程 4 4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 4 5 全量理论的适用范围 简单加载定律 4 6 卸载定律 4 7 Levy Mises和Prandtl Reuss流动法则 4 8 增量型本构方程 4 9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 4 10 两种理论的比较 描述塑性变形规律的理论可分为两大类 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论 另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量 或应变率 和应力及应力增量 应力率 之间的关系即 增量理论或流动理论 为了建立塑性本构关系 需要考虑三个

2、 要素 1 初始屈服条件 4 1 建立塑性本构关系的基本要素 2 与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则 即要有一个应力和应变 或它们 的增量 间的关系 此关系包括方向关系和 分配关系 实际是研究它们的偏量之间的关 系 3 确定一种描述材料强化 硬化 特性的 强化条件 即加载函数 有了这个条件才能 确定应力 应变或它们的增量之间的定量关 系 弹性范围内 广义Hooke定律 将应力张量和应变张量分解为球张量和偏张 量部分 则Hooke定律改写为 前面是一个独立式子 后者是五个独立式子 4 2 广义Hooke定律 在弹性范围内 应力和应变之间的方向关系 是应力和应变主轴重合 分配关系是应变偏

3、 张量各分量和应力偏张量各分量成比例 为 便于推广到塑性状态 并与塑性本构方程的 写法一致 将 改写为 因 而塑性状态 当应力从加载面卸载时 也服从广义Hooke 定律 但是不能写成全量形式 只能写成增 量形式 由于在塑性变形状态应力和应变不存在 一一对应的关系 因此 必须用增量形式来 表示它们之间的关系 只有在知道了应力或 应变历史后 才可能沿加载路径积分得出全 量的关系 由此可见 应力与应变的全量关 系必然与加载的路径有关 但全量理论企图 直接建立用全量形式表示的 与加载路径无 关的本构关系 所以全量理论一般说来是不 正确的 不过 从理论上来讲 沿路径积分 总是可能的 但要在积分结果中引出

4、明确的 4 3 全量型本构方程 应力 应变的全量关系 而又不包含历史的 因素 只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此 这种关系只能在特定条件下应用 一 全量理论的基本假设 1 体积的改变是弹性的 且与静水应力成 正比 而塑性变形时体积不可压缩 2 应变偏张量与应力偏张量相似且同轴 即 3 单一曲线假设 不论应力状态如何 对于同一种材料来说 应力强度是应变强 度的确定函数 是与Mises条件相应 的 单拉时 全量型塑性 本构方程为 其中 二 依留申小弹塑性形变理论 1943年 依留申考虑了与弹性变形同量 级的塑性变形 给出了微小弹塑性变形下的 应力 应变关系 在弹性阶段 G即剪切弹性模量 在塑性

5、阶段 即 上式自乘求和后开方得 以 代入 得到 则 这是全量理论的另一种表达形式 例4 1 在薄壁筒的拉伸与扭转问题中 若 材料为理想弹塑性 且 设拉力为P 扭矩为M 筒的平均半径为r 壁厚为t 于 是筒内应力为均匀应力状态 有 其余应力分量为零 当按照同时拉伸与扭转 在 的比值保持不变条件下进入塑性状 态 到 用全量理论求筒中的应 力 解 一 由全量理论 1 第二式可以写为 其中 第一式 且 故 或 又因为 其展开式为 又由于 故 2 二 对于理想塑性材料 3 将 2 3 代入式 1 得到 4 三 在简单加载条件下 材料进入塑性时 各应变分量同时达到屈服 即 又 分别代入 4 得到 例4 2

6、 如图所示 简单拉伸下材料的应力 应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为 式中 拉伸加载至 然后卸载并方向加 载 针对下面两种情况 求出方向加载中的 应力 应变关系 1 随动强化 2 等向强化 解 1 随动强化 时 相应的应力和应变分别为 塑性模量的表达式为 在 时的背应力为 此时 加载条件变为 当应力从 开始卸载 直 到反向加载到 重新进 入屈服 在此过程中塑性应变保持不变为 故在 时 对应的应 变为 当应力 将产生压缩塑性变形 在此阶段 塑性应变增量为 其绝对值是 累积塑性应变为 背应力应为 代入加载条件 得 因此 导出的应力 应变关系为 2 等向强化 当应力从 开始减小到 材料重新进入屈服

7、 在此过程中塑性应变保 持不变为 仅产生弹性应变 因此 在 时 对应的应变为 由此可得强化 硬化 函数为 当应力 材料进入压缩硬化 等向硬化的加载条件为 于是 应力 应变关系为 全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 在应力边界 上 给定面力 在位移边界 上给定 要求 物体内部各点的应力 应变 位移 确定这些未知量的基本方程组有 1 2 4 4 全量理论的基本方程 及边值问题的提法 3 4 5 求解方法和弹性问题一样 可以用两种 基本方法 按位移求解或按应力求解 在全 量理论适用并按位移求解弹塑性问题时 依 留申提出的弹性解法显得很方便 将 代入用位移表示的平衡 微分方程得 其中 或

8、在弹性状态时 上式右端等于零 可得 到弹性解 将它作为第一次近似解 代入上 式右端作为已知项 又可以解出第二次近似 解 重复以上过程 可得出所要求精度内接 近实际的解 在小变形情况下 可以证明解 能够很快收敛 在很多问题第二次近似解已 能给出较为满意的结果 目前已经证明 全量理论在小变形并且 是简单加载的条件下与实验结果接近 可以 证明是正确的 一 简单加载 在简单加载的情况下 物体内 每一点的应力和应变的主方向都保持不变 其主值之比也不改变 在应力空间中 应力 点的轨迹是直线 依留申在1943年继续解决了在什么条件 4 5 全量理论的适用范围 简单加载定律 下才能保持物体内部各点都处于简单加

9、载情 况 提出了一组充分条件 1 外载按比例增长 如有位移边界条件 只能是零位移边界条件 2 材料的体积不可压缩 即 3 应力强度与应变强度的关系 二 偏离简单加载 在实际应用中 全量理论的适用范围不 限于简单加载 这个范围的确定以及这个范 围内应用全量理论所引起的误差 都尚需要 作进一步的研究 在这一范围内的加载路径 称为偏离简单加载 卸载定律 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应 变减去以卸载时的荷载改变量 为假 想荷载按弹性计算所得之应力或应变 即卸 载过程中应力或应变的改变量 使用上述计算方法时必须注意两点 1 卸载过程必须是简单卸载 即卸载过 程中各点的各应力分量是按比例减少的 2

10、 卸载过程中不发生第二次塑性变形 即卸载不应该引起应力改变符号而达到新的 屈服 4 6 卸载定律 在塑性变形阶段 应力和应变之间没有 一一对应的全量关系 由于变形的不可逆性 故塑性区的变形不仅取决于最终状态的应 力 而且和加载路径有关 但在某一给定状 态下 有一个应力增量 相应的必有唯一的 应变增量 因此在一般塑性变形条件下 只 能建立应力与应变增量之间的关系 即增量 理论 4 7 Levy Mises流动法则和 Prandtl Reuss流动法则 一 Levy Mises流动法则 适用于刚塑性体 其中比例系数 取决于 质点的位置和荷载水平 此假设首先由圣维南提出应变增量主轴 和应力主轴重合的

11、假设 然后Levy进一步提 出了上面的分配关系 1913年Mises又独立 地提出了相同的关系式 其本构方程为 二 Prandtl Reuss流动法则 适用于弹塑性体 1924年Prandtl将Levy Mises关系式推 广应用于塑性平面应变问题 考虑了塑性状 态的变形之中的弹性变形 且认为弹性变形 服从广义Hooke定律 而塑性变形部分 则 假设塑性应变增量张量和应力偏张量相似且 同轴 1930年 Reuss推广到三维问题 其本构方程为 例4 2 在薄壁筒的拉伸与扭转问题中 若 材料为理想弹塑性 且 设拉力为P 扭矩为M 筒的平均半径为r 壁厚为t 于 是筒内应力为均匀应力状态 有 其余应

12、力分量为零 现按照下列三种加载路 径 如图 试用Prandtl Reuss理论来计 算筒中的应力 1 先拉至 进入塑性状态 保持 不 变 然后加扭矩至 2 先扭至 进入塑性状态 保持 不 变 然后加拉力至 3 同时拉伸与扭转 在 的比值保持不 变条件下进入塑性状态到 解 1 分析 圆筒为均匀应力状态 且已知应力公式 故只需要应用本构方程求解 由材料不可压缩条件 则拉伸刚 到塑性状态时 只扭转刚达到 塑性状态时 应用Mises屈服条件 将 代入 可得圆筒的Mises屈服条件为 下面讨论圆筒处于塑性状态的增量本构方程 采用圆柱坐标 应力为 其余为零 因此有 按照Prandtl Reuss理论 应变

13、偏量增量为 而 则 又 塑性变形比能增量为 按照Prandtl Reuss理论 展开 将 代入 可得到达到塑性屈服后的应力 状态时的本构方程 即 在圆筒最后变形状态C点有 2 按加载路径的计算 1 先拉后扭时 为弹性阶 段 为塑性阶段 且 保持不变 为塑性阶段 且 保持不变 上式第二式改写为 利用积分公式 并考虑在A点处 得 最后得 2 先扭后拉时 为弹性阶 段 为塑性阶段 且 保持不变 上式第一式积分并考虑在B点处 得 最后得 3 在 保持不变时 也保持不变 材料 为理想弹塑性材料 在由 点直线到达 点 以前一直处于弹性状态 应遵守虎克定律 代入屈服条件 得 附 按照Prandtl Reus

14、s理论 得 由Mises屈服条件得 由此可以得到解此问题的本构方程 增量理论的边值问题及解法 设在加载阶段的某一瞬时 已求得物体内各 点的 求在此基础上 给定体力增 量 上面力增量 上位移增量 时 物体内部各点的应力增量 应变增量 位移增量 确定这些增量的基本方程组 有 1 2 4 13 增量理论的基本方程 及边值问题的提法 3 本构关系 理想弹塑性材料 弹性区 塑性区 4 5 此外 在弹塑性交界面上还应满足一定的连 续条件和间断性条件 在给定加载历史时 可以对每时刻求出 增量 然后用 积分 累计 的方法得出 应力和应变等分布规律 一般的弹塑性强化材料 在加载过程中 按增量理论 最后的应变状态

15、不仅取决于 最终的应力 而且是和应变的路径有关系 按全量理论 全应变由最终的应力确定 而 不管应变路径 故一般两个理论的解是不一 致的 特别是在中性变载的情况 两者相差 最明显 根据实验观察 对中性变载不产生 塑性应变的改变 增量理论反映了这一特点 而按全量理论 只要是应力分量改变 塑 性应变也要发生改变 4 14 全量理论与增量理论的比较 另外 对于弹性区和塑性区以及加载区和卸 载区的分界面 既服从弹性关系 也服从于 塑性关系 这种分界面称为中性区 为了保 证中性区的应力和应变的连续性 则塑性关 系在中性区应自动退化为弹性关系 增量理 论可以保证 但全量理论不能保证这种连续 性 但是在小变形条件及简单加载下 两个理论 是一致的 即可由增量关系导出全量关系 在一般加载的情况下 增量理论的方法是比 较合理的 而在简单加载或与此相近的情况 下 全量理论也是可用的 特别是由于全量 理论在数学处理上比增量理论要方便得多 故全量理论广泛地用于解决工程问题