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1、6 1 数字滤波器的基本概念 6 2 模拟滤波器的设计 6 3 用脉冲响应不变法设计IIR低通DF 6 4 用双线性变换法设计IIR低通DF 6 5 数字高通 带通和带阻滤波器的设计 第6章 IIR数字滤波器的设计 6 6 IIR DF的直接设计法 1 u数字滤波器 DF Diginal Filter 是一种具有 频率选择性的离散线性系统 即选频滤波器 uDF的设计是确定其系统函数H z 并实现的过 程 uDF的幅频特性是h n 的傅里叶变换 6 1 数字滤波器的基本概念 DF的幅频特性具有以 为周期的周期性 2 DF的理想幅频特性 低通频带 位于2 的 整数倍附 近 高通频带 位于 的 奇数
2、倍附 近 3 n 理想滤波器是物理不可实现的 由于从一个频带到 另一个频带之间的突变 n 物理可实现 一个频带到另一个频带之间设置一个过 渡带 且在通带和止带内也不应该严格为1或0 应给 以较小容限 n 设计DF前要给定其频域指标 频域容差图 n 设计中 用一个可实现的系统函数去逼近给定的滤波 器幅频响应指标 而滤波器的相位响应指标可以通过 级联全通滤波器来校正 n 一个实际DF的幅频特性在通带内允许有一定的波动 或起伏 阻带内衰减大于给定的衰减 且在通带 与阻带间有一定宽度的过渡带 1 数字滤波器的设计指标 4 通带 0 p 起伏不超过 通带容限 阻带 s 起伏不超过 阻带容限 过渡带 p
3、s 一般要单调下降 理想低通滤波器 通带阻带 1 低通滤波器的技术指标 u设计时要给出 通带截止频率 p 阻带截止频率 s 通带允许的最大衰减 P 阻带允许的最小衰减 s 5 一般情况下都规定 H ej0 被归一化为 u P s通常用dB来表示 其定义分别为 u当 H ejw 下降到0 707时 P 3dB w wc 故称wc为3dB截止频率 6 2 高通滤波器的性能指标 l通带截止频率 wp 通带下限频率 l通带衰减 l阻带截止频率 ws 阻带上限频率 l阻带衰减 wswp 1 w H ejw 0 7 3 带通滤波器的性能指标 ws1wp1 1 w H ejw l通带截止频率 上限 截止频率
4、wp2 下限截止 频率wp1 l通带衰减 l阻带截止频率 上限 截止频率ws2 下限截止 频率ws1 l阻带衰减 wp2ws2 0 8 4 带阻滤波器的性能指标 ws1 wp1 1 w H ejw l通带截止频率 上限 截止频率wp2 下限截 止频率wp1 l通带衰减 l阻带截止频率 上限 截止频率ws2 下限截 止频率ws1 l阻带衰减 wp2 ws2 0 9 1 按任务要求确定频域容差图 2 用一因果稳定的系统函数去逼近理想滤波器 确定阶数N M 所有的ak bk 确定N和h n IIR FIR 3 用有限精度算法实现该系统 包括网络结构 系数 的量化 运算中间过程的存储 4 指标的验证
5、2 数字滤波器的设计步骤 10 脉冲响应不变法 IIR AF的Ha s DF的H z 双线性变换法 窗函数法 FIR 频率采样法 3 数字滤波器的设计方法 IIR滤波器的设计是将一个模拟的原型系统函数转换 为一个数字的系统函数 FIR滤波器的设计则是基于 对指定幅度响应的直接逼近 11 nFIR 滤波器可以设计为线性相位 并且总是稳定的 n 在多数情况下 FIR滤波器的阶数 NFIR 显著大于具 有等效幅度响应的IIR滤波器阶数NIIR NFIR NIIR 通常为10的量级或更高 n IIR 滤波器通常计算更简便 n 在实际应用中 若不要求滤波器具有严格的线性相 位 则通常选择IIR滤波器 4
6、 滤波器类型的选择 12 l借助模拟滤波器 AF 来设计IIR DF 典型的 AF 巴特沃斯Butterworth 切比雪夫Chebyshev lAF的设计 给定AF的技术指标 设计一个传输函数 Ha s 使其满足技术指标 因为 P s和幅度平方函数 Ha j 2 有关 因此 根据幅度平方函数可以确定Ha s 6 2 模拟滤波器的设计 13 根据FT的共轭对称性 Ha j 2 Ha j Ha j 令s j Ha s 2 Ha s Ha s 由此 给定 Ha j 2的形式 即可得到Ha s 求 Ha s 例 已知 14 零点 s j5 二阶 极点 s 7 s 6 2 求系统的增益k0 1 令j
7、s 即 s j 代入等式 得 解 15 一 Butterworth滤波器的设计 其中 N为滤波器的阶数 c 为3dB 截止角频率 归一化频率 1 Butterworth滤波器的特性 最大平坦幅度特性 Butterworth滤波器的幅度平方函数为 16 给定Ha j 求Butterworth滤波器的系统函数Ha s P 0 1 2 2N 1 1 令s j 代入幅度平方函数 得 17 u2N 个极点以 2 2N N 等间隔均匀分布在半径为 c 的圆上 这一圆称Butterworth圆 u所有的极点以j 轴为对称轴 成轴对称分布 且 没有根落在j 轴上 落在此轴上是临界稳定的 l当N是奇数时 实轴上
8、有2个极点 l当N是偶数时 实轴上无极点 3 为了得到稳定的Ha s 取全部左半平面的极点 18 幅度下降的速度与阶数N有关 N越大 通带越平坦 过渡带越窄 Butterworth低通滤波器的幅度特性 19 1 最大平坦性 可以证明Butterworth 函数在 0点附 近一带范围内 最平直 所以滤波器具有最大平坦幅度 特性 也就是Butterworth滤波器是以原点的最大平坦性 来逼近理想低通滤波器的 2 通带 阻带下降的单调性 这种滤波器具有良好的相 频特性 相对于切比雪夫来讲 3 3dB不变性 不管N是多少 所有特性都通过 3dB点 Butterworth滤波器的特性 20 2 Butt
9、erworth 低通滤波器的设计方法 1 确定技术指标 通带截止频率 p 和 通带允许的最大衰减 p 阻带截止频率 s 和 阻带允许的最小衰减 s 2 确定阶数N 21 22 3 确定3dB 截止频率 N取大于该值的最小整数 或 23 4 求N个极点Sp 左半平面 5 写出 4 查表6 2 1 P157 得归一化 系统函数 5 写出AF的系统 函数 24 3 Butterworth 低通滤波器的设计举例 解 1 求阶数 已知通带截止频率fp 5 kHz 通带最大衰减 3 dB 阻带截止频率fs 10 kHz 阻带最小衰减 30 dB 试根据以上要求设计Butterworth 低通滤波器 25
10、3 求极点 2 求 4 写出系统函数 26 解二 用MATLAB函数实现 1 计算滤波器的阶数N和3dB截止频率wc buttord 2 计算滤波器系统函数Ha s 分子 分母多项 式的系数 butter P160 已知通带截止频率fp 5 kHz 通带最大衰减 3 dB 阻带截止频率fs 10 kHz 阻带最小衰减 30 dB 试根据以上要求设计Butterworth 低通滤波器 27 二 chebyshev滤波器的设计 幅度平方函数 表示通带内起伏大小的系数 越大波动越大 CN x 阶切比雪夫多项式 切比雪夫 型滤波器 通带等波纹 阻带单调下降 切比雪夫 型滤波器 通带单调下降 阻带等波纹
11、 切比雪夫 型滤波器 椭圆滤波器 28 u切比雪夫滤波器所需的阶数比巴特沃斯低 u切比雪夫滤波器的相位非线性失真比巴特沃斯大 切比雪夫 型滤波器的幅频特性 29 chebyshev 型低通滤波器的设计方法 1 确定技术指标 通带截止频率 p 和能通带允许的最大衰减 p 阻带截止频率 s 和 阻带允许的最小衰减 s 2 确定阶数N和参数 30 3 求归一化极点pk和归一化系统函数Ga p k 1 2 N 4 求实际的系统函数Ha s 31 三 模拟高通 带通 带阻滤波器的设计 1 模拟高通滤波器的设计 方法 通过频率转换关系 将高通指标转换为低通指标 先设计出模拟低通滤波器 再转换成高通 低通与
12、高通滤波器的幅频特性 32 例 设计巴特沃斯高通滤波器 要求fp 200Hz fs 50Hz p 3dB s 10dB 解 1 确定高通滤波器的技术指标 归一化频率 p 3dB s 10dB 2 确定相应低通滤波器的技术指标 p 3dB s 10dB 33 解 3 设计相应的归一化低通滤波器G p 4 频率转换 得到高通滤波器系统函数H s 巴特沃斯滤波器对关于 dB截止频率 归一化 的系统函数称为归一化低通原型 记为G p 34 2 模拟带通滤波器的设计 低通与带通滤波器的幅频特性 3 模拟带阻滤波器的设计 35 uDF的间接设计法 1 先设计一模拟滤波器Ha s s平面 2 再按一定的转换
13、关系 将Ha s 转换成数字滤波器 H z z平面 6 3 用脉冲响应不变法设计IIR低通DF uHa s H z 的转换应满足以下要求 1 s平面的左半平面影射到z平面的单位圆内 2 s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上 只适应于低通滤波器的映射关系 36 1 已求得AF的传输函数Ha s 通过拉氏逆变换可 求得它所对应的单位冲激响应 ha t 2 对单位冲激响应ha t 等间隔采样 设采样间隔为 T 得到ha nT h n 3 将h n 作为数字滤波器的单位脉冲响应 求h n 的z变换 即为DF的系统函数H z 由雷道 Rader 戈尔登 Golden 提出 脉冲响应不变法的思路 37 设h
14、a s 只有单阶极点 且分母多项式的阶次高于分 子多项式的阶次 1 取Ha s 拉氏逆变换 得ha t 一 变换方法 38 2 对ha t 等间隔采样 采样间隔为 T 得h n 3 求h n 的z变换 得DF的系统函数H z 对照Ha s 和H z s平面的极点si 变成z平面的极点 39 例 一个RC模拟低通滤波器 UoUi 则 网络结构 Z 1 y n x n 1 Rc R C 40 二 优缺点 在w 的奇数倍附近 脉冲响应不变法的频谱会产生 混叠 使DF的频率响应偏离AF的频率响应 在高频 端严重失真 模拟域 以 为周期的延拓 数字域 以 为周期的延拓 41 n脉冲响应不变法的优缺点 优
15、点 1 从时域出发 使得数字滤波器的 冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应 也 就是时域逼近良好 2 AF DF的频率转换关系是w T 是线性的 不会扭曲 缺点 高频端会产生频率混叠现象 只适合 低通 带通滤波器的设计 不适合高通 带阻 滤波器的设计 42 当给定DF的技术指标时 采样周期T的取 值对频谱混叠程序的影响很小 因此为了计算 方便 一般取T 1s 2 设计高通和带阻滤波器 必须先对高通和带阻滤 波器加一保护滤波器 滤掉高于折叠频率以上的频带 它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数 因而只有 在一定要追求频率线性关系时才使用 1 设计低通和带通滤波器 需充分限带 若阻带 衰减越大 则混叠
16、效应越小 l用脉冲响应不变法设计时 注意 43 三 设计举例 设计一低通数字滤波器 要求在通带内频率低于0 2 rad时 容许幅度误差在1dB内 在频率0 3 到 之间的 阻带衰减大于15 dB 指定模拟滤波器采用巴特沃斯低 通 用脉冲响不变法求该DF的系统函数 解 1 确定数字滤波器的指标 2 将DF的指标转换成AF的指标 44 解 3 设计AF MATLAB中 用脉冲响应不变法将模拟滤 波器转换成数字滤波器可用函数impinvar 实现 4 利用脉冲响应不变法得DF的H z 45 脉冲响应不变法的缺点是会产生频率混叠现象 而双线性变换法的优点之一是不会产生频率混叠 l双线性变换法采用非线性频率压缩方法 6 4 用双线性变换法设计IIR低通DF 1 变换方法 由凯塞 Kaiser 和戈尔登 Golden 提出 l双线性变换法 是从频域出发 使DF的频率响应与AF 的频率响应相似的一种变换法 46 由上式得 合称为双线性变换法 则 已知Ha s 利用 可以 直接求得H z 由s平面到z平面的变换关系是 47 例 已知模拟滤波器Ha s 2 s 1 试利用双线性变 换法将Ha s 转换成
