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1、第二讲 小题考法圆锥曲线的方程与性质考点(一)圆锥曲线的定义与标准方程主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法.典例感悟典例(1)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1B.1C.1 D.1(2)(2018重庆模拟)已知点F是抛物线y24x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|PM|的最小值是()A6 B5C4 D3(3)(2018湖北十堰十三中质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.1
2、B.1C.1 D.1解析(1)根据双曲线C的渐近线方程为yx，可知.又椭圆1的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，所以a2b29.根据可知a24，b25，所以C的方程为1.(2)由题意知，抛物线的准线l的方程为x1，过点P作PEl于点E，由抛物线的定义，得|PE|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|PM|取得最小值，即(|PF|PM|)min5(1)6，故选A.(3)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由点P(2，)在椭圆上，知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，则.又c2a2b2，联立得a28，b26，故椭圆的方
3、程为1.答案(1)B(2)A(3)A方法技巧求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22px或x22py(p0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)演练冲关1.(2018合肥一模)如图，椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则F2MN的周长为()A20 B10C2 D4解析：选D由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的
4、中点，又F1(c,0)，点N的横坐标为c，联立方程，得得N，H，M.把点M的坐标代入椭圆方程得1，化简得c2，又c2a24，a24，解得a25，a.由椭圆的定义知|NF2|NF1|MF2|MF1|2a，F2MN的周长为|NF2|MF2|MN|NF2|MF2|NF1|MF1|4a4，故选D.2(2018河北五个一名校联考)如果点P1，P2，P3，P10是抛物线y22x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，x10，F是抛物线的焦点，若x1x2x3x105，则|P1F|P2F|P3F|P10F|_.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y22px(p0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x
5、0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10.答案：103.如图，F1，F2是双曲线1(a0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A，B，若ABF2为等边三角形，则双曲线的标准方程为_，BF1F2的面积为_解析：由|AF1|AF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a，得|BF2|4a，在AF1F2中，|AF1|6a，|AF2|4a，|F1F2|2c，F1AF260，由余弦定理得4c236a216a226a4a，化简得ca，由a2b2c2得，a2247a2，解得a2，则双曲线的方程为1，BF1F2的面积为|BF1|BF2|sinF1BF22a4a8.答案
6、：18考点(二)圆锥曲线的几何性质主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线的有关性质.典例感悟典例(1)(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyx Dyx(2)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B.C. D.(3)(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.解析(1)e，a2b23a2，ba.渐近线方程
7、为yx.(2)如图，作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1.由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.(3)法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy4(x1x2)，k.设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)为AB中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2
8、(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2.由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90，得0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案(1)A(2)D(3)2方法技巧1椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用
9、法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值；利用渐近线方程设所求双曲线的方程3抛物线几何性质问题求解策略涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性，还要注意抛物线定义的转化应用演练冲关1(2018长郡中学模拟)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为()A. B.C2 D.解析：选C依题意，设双曲线的渐近线yx的倾斜角为，则由双曲线的对称性得3，tan，双曲线C的离心率e 2，选C.2(
10、2018福州四校联考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|8，M为抛物线C的准线上一点，则ABM的面积为()A16 B18C24 D32解析：选A不妨设抛物线C：y22px(p0)，如图，因为直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p8，p4，又M为抛物线C的准线上一点，所以点M到直线AB的距离即焦点到准线的距离，为4，所以ABM的面积为8416，故选A.3(2018福州模拟)过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以A
11、B为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题设知，直线l：1，即bxcybc0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将xc代入椭圆C的方程，得y，即圆的半径r.又圆与直线l有公共点，所以，化简得2cb，平方整理得a25c2，所以e.又0e1，所以00，b0)的左焦点F(c,0)作圆x2y2a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y24cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A.B.C.1 D.(2)(2018洛阳模拟)已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x3y2p0与曲线C1
12、，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则()A16 B4C. D.(3)(2018南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析(1)抛物线y24cx的焦点F1(c,0)，准线l：xc，连接PF1和EO(O为坐标原点)，如图，则|PF1|2|EO|2a，所以点P到准线l：xc的距离等于2a，所以点P的横坐标为2ac，由点P在抛物线y24cx上，得P(2ac,2)连接OP，则|OP|OF|c，所以(2ac)222c2，解得e，故选D.(2)因为直线4x3y2p0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|C
13、F|，所以.由抛物线的定义得|AF|xA，|DF|xD.由整理得8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xD，故16.故选A.(3)设直线xy50与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直线AB的斜率k1.由两式相减得，0，所以，所以，于是椭圆的离心率e，故选C.答案(1)D(2)A(3)C方法技巧处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短
