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1、福建省2020届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列三三角函数存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组 姚承佳 黄晓琳执笔整理）三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重要内容之一，历年来在数学科高考中都占有重要地位三角函数部分的全国卷高考试题呈现以下四个特点：（1）利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图象特点；（2）利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题；（3）利用真实情境考查，考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用；（4）体现思维深度，考查创新意识在全国卷的高考试题中，三角函数部分的解答题通常与数列内容交替，一般是一大两小，难度控制中等
2、在不考三角函数解答题的年份，一般呈现三道小题，但难度没有下降，保持在中等难度对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变形的要求和过去比有所下降，更多强调对公式的灵活运用随着新课标的实施和高中课程与高考的综合改革，2019年高考三角函数文科考了两道选择题和一道填空题，理科则考查了一道填空题和一道解答题，文理填空题的压轴题都是三角函数知识的综合应用在学科思想的层面上，课程的教育功能和试题的考查功能是多元的，在三角函数核心知识的考查中充分展示了化归与转化思想的运用近五年本部分考查情况如下：表1：2016年-2019年全国卷三角函数考点分布统计表（理科）年份题序考查内容2016年12三角函数图象与性
3、质17解三角形2017年9三角函数图象与性质17解三角形2018年16三角函数求最值17解三角形2019年11三角函数图象与性质17解三角形表2：2016年-2019年全国卷三角函数考点分布统计表（文科）年份题序考查内容2016年4三角函数图象变换6三角恒等变形14解三角形2017年8三角函数图象性质11解三角形15三角函数的求值、恒等变形2018年8三角函数图象性质11三角函数定义的应用16解三角形2019年7三角函数值11解三角形15三角恒等变形、三角函数图象与性质下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策一、存在的问题及归因分析（一）概念理解不透彻本专题中，概念理解不透彻主要
4、表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等【例1】（2019年全国卷文5）函数在的零点个数为A BC D【解析】思路1：由，得或，因为，故故在的零点个数是3故选B思路2：方程的根的个数即为函数和的图象的交点的个数由图象可知这两个函数有三个交点，所以在的零点个数是3故选B【评析】该题从零点问题出发，考查学生的基础知识和基本技能解法1侧重方程思想，要特别注意的是不等式两边只可以同时除以非零实数；解法2考查学生对三角函数图象变换的掌握从立意角度来看，多种途径均可解决问题，体现了对学生的人文关怀解决本题时，恒等变形是考生的易错点；其次概念不清，由漏解
5、，导致错误（二）整体意识较薄弱在三角函数专题中，常常出现三角求值问题在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等【例2】（2017年全国卷文6）函数的最大值为A B1 C D 【解析】因为，所以，故函数的最大值为 【评析】面对这样的给值求值问题，学生整体的意识不强，没有发现已知式的角与角的联系；利用两角差的公式，将和分别展开后，合并同类项，再用辅助角公式将函数化为的形式，没有注意所给的两个角的联系，导致问题复杂化其实“从角的
6、关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径（三）恒等变形欠灵活化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误【例3】（2019年全国卷理10）已知，则A B C D 【解析】因为，所以又因为，所以，故又，故，又，则，故选B【评析】与高中其他内容相比，三角函数知识的最大特点是公式多通过对公式的应用，重点考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力学生在
7、学习的过程中，要重视对公式的灵活运用，抓住公式之间存在的联系同时，要特别注意理解公式之间的相互转化和相互推导例如，诱导公式中角的周期性变化、正负取值，两角和与差公式中角的组合变化等在本题的解答中，学生存在的主要问题是化归意识不强，不能将含有的三角关系式转化为含有的三角关系式；其次三角恒等变形转化不准确；不能快速地识别、选择、应用三角公式由灵活求得的值三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同，从而达到解题的目的（四）数形结合不灵巧在本专题中，形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）
8、的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强 【例4】（2019年全国卷理9）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是A B C D【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A【评析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养画出各函数图象，即可做出选择三角函数是一种比较特殊的函数，侧重
9、奇偶性、单调性、最值、含绝对值图象变换等，同时又体现了三角的特殊性，如周期性三角函数的图象和性质几乎是每年高考必考的内容，此考点多结合三角公式设置综合问题，能够很好地体现数形结合的思想，考查学生的观察、分析和动手能力此考点题目多为中档难度试题在这部分内容的学习中要多利用图形解释、理解知识，这样能更好地理解比较抽象的概念，形成直观印象在教学与学习中，应该视为函数体系中的一部分因此，在三角函数的教学过程中，教师应该引导学生根据一般的函数研究思路对三角函数进行探究，即给出定义一画出图象研究性质进行应用这样的研究思路可以使学生对三角函数有一个系统的认识，有利于深化学生对三角函数的理解解决本题最大问题是
10、，面对含有绝对值符号的函数解析式，考生有畏惧心态无从下手；其次不能利用函数的性质进行排除选项；对函数的图象的变换的本质理解不够到位，不会正确作出用函数图象加以分析.（五）定理应用欠思考本专题的显著特点就是公式多、定理多学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，导致解决相应的问题时，思维不顺畅，定理应用欠思考，如在应用诱导公式解三角函数问题时，常出现公式记忆不准确，不注意角的范围和象限等；在解决有关的问题时，不能准确应用有关的三角函数性质，不注意所给的角或者参数的范围；在三角恒等变形中，选用公式不合理或转化不准确，造成后续求解繁琐或错误；在解决三角形问题时，忘记或不会应用三角形中的隐含条件，求边、角
11、时忽略其范围，不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等，这些都是造成失分的主要原因【例5】（2019年全国卷文18）的内角的对边分别为，已（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【解析】（1）根据题意由正弦定理得，因为，所以，消去得，故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以（2）因为是锐角三角形，又由前问，得到，故又应用正弦定理，由三角形面积公式有又因，故，故，故的取值范围是【评析】该题考查解三角形内容，从命题思路上看，重点不在于对正弦定理和余弦定理的识记和简单应用，而是侧重于考查学生分析问题和解决问题的能力这类求解题目中往往还综合了三角恒等变换、边角互化和代换消元等
12、化归与转化思想和函数思想，综合性强、命题设置新颖灵活本题出现错误主要有：在中，对没掌握，导致无从下手；忽略在中，这一条件，由直接得到，导致解题严密性的缺失；忽视为锐角三角形这一条件，导致解题结论错误（六）知识交汇不顺畅本专题的知识内容较多，高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇如在诱导公式和同角三角函数关系的考查中，常与三角函数式求值、化简，和差公式及倍角公式等综合进行，容易产生错误；在研究函数问题时，不仅关注解析式及其图象，还关注周期性、对称性、单调性及最值等，综合度较大，要求较高，学生常因考虑不周而失分不仅如此，高考对本专题的考查，还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇，考
13、查函数的相关问题，综合性强，学生不容易得分 【例6】（2019年全国卷理20）已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【解析】（1）由题意知，定义域为且令，则，因为与均在上单调递减，故在上单调递减又，故，使得，则当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点，即在区间上存在唯一的极大值点（2）由（1）知：，当时，由（1）可知在上单调递增，故 ，故在上单调递减，又，故为在上的唯一零点当时，在上单调递增，在上单调递减，又 ，在上单调递增，此时，不存在零点又故，使得，故在上单调递增，在上单调递减又，故在上恒成立，此时不存在零点当时，单调递减，单调递减
14、故在上单调递减，又，即，又在上单调递减故在上存在唯一零点当时，故，即在上不存在零点综上所述，有且仅有个零点【评析】该题的两问难度较大，对三角函数的图象与性质考查得比较全面，将极值点和零点的概念考查进来，充分体现了在知识交会处命题的意图同时，对知识的考查注重理解和应用，体现了新课程理念，也重点考查了学生的学科素养本题是涉及到三角函数的导数应用问题，体现了知识间的交汇，学生出现的错误有：审题不认真题目要求证明在区间存在唯一极大值点，误认为证明在区间存在唯一极大值点；运算不过关具体表现在导数公式记忆出错、求导出错，求导法则应用出错等，导致后面求解出现错误；解题严谨性欠缺没有求解出定义域；对函数单调性的讨论不严密，从的符号到增减性分析不完整；数学思想方法掌握不到位在第（2）问中，无法找到对参数讨论的分界点、不会对参数进行讨论、或对参数分类混乱导致出错；二、解决问题的思考与对策（一）重温概念的来龙去脉，理清知识网络，切实掌握三角函数的概念与性质高考对三角函数的考查，尤其是选择题、填空题对三角函数的考查，往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点，考查三角函数的求值问题；以三角函数的图象与性质为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等复习过程中，要关注三角函
