《2020届高考数学学科备考《数列存在问题及应对策略》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学学科备考《数列存在问题及应对策略》（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2020届高考数学学科备考关键问题指导系五数列存在问题及应对策略高考对数列的考查突出基础性，重点考查考生对数列通性通法的理解与应用，有时也考查综合性较强的数列问题，将对基础知识的考查和对能力的考查有机结合，解题方法灵活多样，技巧性较强但学生对数列心理上存在的畏惧感，导致在解题过程中还是会出现或多或少的错误，如审题不清、概念理解的不透彻、计算上的错误、转化能力的欠缺等导致失分.复习时要针对存在的不同问题采取不同的应对策略.一 存在问题 （一）概念理解不透彻 主要表现在等差、等比数列的概念及等差中项或等比中项的定义认识不到位，尤其忽略等比数列定义中隐含的各项和公比都不为零. 【例1】 “”是“成
2、等比数列”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件【解析】当时，满足条件，但它们不能构成等比数列；当构成等比数列时，有，由此“”是“成等比数列”的必要非充分条件故选B【评析】本题有两个考点，即等比数列的概念和充分必要条件的判定考生出错的主要原因是对等比数列概念理解不够透彻，忽略了等比数列定义，漏掉特例对结论的影响，即等比数列的任一项都是非零值.在这一问题中，尤其要注意与的等价性 【例2】（2019全国理科卷19）已知数列和满足，. （1）证明： 是等比数列，是等差数列； （2）求和的通项公式. 【解析】(1)将，相加可得，整理可得，又，故是首项为，公比为
3、的等比数列.将，作差可得， 整理可得，又， 故是首项为，公差为的等差数列. （2）由是首项为，公比为的等比数列可得； 由是首项为，公差为的等差数列可得； 相加化简得，相减化简得. 【评析】本题属于中档题，主要考查等差数列以及等比数列的判定，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义.学生失误的一方面是无法找到从已知的递推关系的结构式与待证式之间的关系；另一方面是对等差等比数列定义的理解不到位.第（1）问实际上就是找是个定值即可.第（2）问很多学生直接以为和是等比和等差数列从而产生错误.等差等比数列的判定是近几年高考考查的重点内容，主要要对定义理解清楚，实际上就是找推断或
4、是否为定值即可.（二）运算能力不佳在数列专题中，常常出现求数列某一项、基本量、通项公式及前项和等计算问题在计算过程中，整体代换意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：用数列的有关公式和性质求解一些基本量的问题时用错公式或运算错误；对等比数列前项和公式的结构特征认识不透，不能从整体的意识去分析和思考问题等（如计算中有时把作为整体，将会使运算更加简便） 【例3】（2019年全国理科I卷9）记为等差数列的前n项和已知，则ABCD【答案】A【解析】由题知，解得， 【评析】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学运算等素养利用等差数列通项公式与前
5、n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断 【例4】（2017年高考江苏卷理9）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则_【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则 【评析】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减
6、少运算量”的方法 （三）归纳转化意识不强 转化与化归思想方法的数学核心素养在数学解题过程中占着重要地位；高考中对数列既重视基础知识的考查又突出对数学思想方法和数学能力的考查.等差等比数列又是每年都必考的内容，还常遇到以递推关系为载体解决数列有关问题，就是学生对知识的迁移能力不足，在解决问题的过程中不懂的转化为所熟悉的知识解决问题而导致这部分知识显得掌握很薄弱. 【例5】（2012年新课标理科16）数列满足，则的前60项和为A3690 B3660 C1845 D1830 【解析】思路一：有题设知=1 ，=3 ， =5 ， =7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，由得=2，+得=8，同
7、理可得=2，=24，=2，=40，所以，是各项均为2的常数列，是首项为8，公差为16的等差数列，所以的前60项和为=1830思路二：可证明，【评析】本题主要考查考生灵活运用数列知识求解数列问题，思维量大，有一定的难度考生要从研究递推关系入手，推断该数列的结构特点，发现其中所隐含的规律，从而找到解题方向 【例6】已知正项等比数列的前项和为若，则取得最小值时，的值为_ 【答案】 【解析】由，得：q1，所以， 化简得：，即，即， 得， 化简得， 当，即时，取得最小值， 所以 故答案为： 【评析】本题是考查等比数列的前n项和及基本量运算，属于中档题.先利用等比数列的前n项和公式把问题转化为解关于公比q
8、的方程，再利用基本不等式求得最值.考生纠结于首项及方程如何因式分解而致错误. （四）项数确定错误数列是特殊的函数，它的定义域是正整数集或正整数集的子集，解题中重视项数的取值范围是非常重要的在这方面考生除了在等差数列、等比数列有关问题时易漏掉时的情况外，还突出表现在以下两个方面：一是用错位相减法求数列前项和时，考生对中间环节两式相减后构成等比数列是项或项时常出现错误；二是数列应用题问题，比如个人储蓄、养老保险、分期付款等综合应用问题转化为特殊数列时项数经常出错【例7】（2017年全国卷理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件
9、激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A440B330C220D11【解析】设该数列为an，设bn2n+11，（nN+），则 ai， 由题意可设数列an的前N项和为SN，数列bn的前n项和为Tn，则Tn211+22 1+2n+112n+1n2， 可知当N为时（nN+），数列an的前N项和为数列bn的前n项和， 即为2n+1n2， 容易
10、得到N100时，n14， A项，由435，440435+5，可知S440T29+b5230292+251230，故A 项符合题意 B项，仿上可知325，可知S330T25+b5226252+251226+4，显然不为 2的整数幂，故B项不符合题意 C项，仿上可知210，可知S220T20+b10221202+2101221+21023，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意 D项，仿上可知105，可知S110T14+b5215142+251215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意 故选A 方法二：由题意可知：， 根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2n1
11、， 每项含有的项数为：1，2，3，n， 总共的项数为N1+2+3+n， 所有项数的和为Sn：211+221+231+2n1（21+22+23+2n）nn 2n+12n， 由题意可知：2n+1为2的整数幂只需将2n消去即可， 则1+2+（2n）0，解得：n1，总共有23，不满足N100， 1+2+4+（2n）0，解得：n5，总共有318，不满足N100， 1+2+4+8+（2n）0，解得：n13，总共有495，不满足N100， 1+2+4+8+16+（2n）0，解得：n29，总共有5440，满足N100， 该款软件的激活码440 故选：A 【评析】本题非常巧妙的将实际问题和等差数列、等比数列的求
12、和等知识融合在一起，首先需要读懂题意，并观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项并求和，难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断，所以项数的确定是正确解决本题的一个重要环节. （五）抽象概括能力不够 随着新高考的不断深入，更加注重学生能力的考查，注重考查数学的抽象概括和数学建模的能力，对学生的审题阅题能力要求也越来越高.近几年的全国卷以数学文化为背景及实际应用问题每年都有出现，但很多学生就是阅题能力偏薄，题意不懂或理解不清导致无法建立数学模型而放弃或失分. 【例8】（2018年高考北京卷文5理3）“十二平均律”是通用的音律
13、体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A B C D【答案】D【解析】因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比都为，所以，又，则，故选D.【评析】此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 【例9】（2019全国卷I理21
14、）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别为和，一轮实验中甲药的得分记为若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中， （1）证明：为等比数列； （2）求，并根据的值解释这种实验方案的合理性 【解析】（1）因为甲、乙两种药的治愈率分别为和 所以，
