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1、2 1简谐振动及其合成的模拟2 2阻尼运动与阻尼振动的模拟2 3驻波的模拟2 4点电荷与点电荷系的电场模拟2 5波的干涉和衍射图形模拟习题二 2 1 1简谐振动的位移 时间 x t 曲线和速度 时间 v t 曲线 例2 1 编程画出简谐振动x Acos t 0 t T 周期 的振动曲线及对应的v t曲线 其中振幅A 2 0 圆频率 初相位 0 2 1简谐振动及其合成的模拟 解显然 根据x t关系 有 取T 2 2s t T N 即N等分周期T 程序中的w phi分别对应于 和 计算程序 implicitreal 8 a h o z open 1 file x t dat open 2 file
2、 v t dat write inputA w phi N read A w phi N pi 3 1415926 do10I 1 N t 2 pi w t t float I N x A cos w t phi v A w cos w t phi pi 2 write 1 t x 10write 2 t v end 2 1 2简谐振动的合成 1 同方向简谐振动的合成 1 相同频率情况 设有两个同方向 同频率的简谐振动 它们的运动方程分别为x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 2 1 显然 合成振动的位移x仍在这一方向上 且为以上两个位移的代数和x x1 x2 Acos t 2
3、2 其中 2 3 b 2 3 a 可见两个同方向 同频率简谐振动的合成运动仍是简谐振动 合成振动的频率和两个分振动的频率相同 振幅为A 初相位为 从式 2 3 a 可以看出 合成振动的振幅不仅与两个分振动的振幅A1 A2有关 而且和两个分振动的初相差有关 对于初相差满足以下条件 有 2 4 例2 2 试给出两个同方向 同频率简谐振动的合成程序 解图2 1所示为两个同方向 同频率简谐振动的合成 同相 反相 中分振动及合振动示意图 图2 2给出了相位差为0 4 的两个同方向 同频率简谐振动的合成图 图2 1两个同方向 同频率简谐振动的合成示意图 图2 2相位差为0 4 的两个同方向 同频率简谐振动
4、的合成图 计算程序 open 1 file x1 dat open 2 file x2 dat open 3 file x dat write inputA1 A2 w phi1 phi2 read A1 A2 w phi1 phi2 pi 3 1415926 do10I 1 1000 t 2 pi w t t float I 1000 x1 A1 cos w t phi1 x2 A2 cos w t phi2 x x1 x2 write 1 t x1 write 2 t x2 10write 3 t x end 2 不同频率情况 考虑以下两个同方向 不同频率的简谐振动 它们的运动方程分别为x
5、1 A1cos 1t 1 x2 A2cos 2t 2 此时 合振动不再是简谐振动 利用旋转矢量法可以求得合振动的振幅为 2 5 显然 这一振幅在A A1 A2和A A1 A2 间周期性地变化 如图2 3所示 属振动调制 合振动振幅从一次极大到相邻的另一次极大 中间经历的时间 称为周期 显然 频率v v2 v1 以上合成应用于两次振动频率相差很小情况时 会呈现出拍的现象 假设两个分振动振幅都为A1 圆频率 1 2相差较小 取它们的初相位都是零 则可以分别表示为x1 A1cos 1t x2 A1cos 2t此时合成运动的位移可写成 2 6 其中A 2A1cos 由于圆频率 2 1 远大于圆频率 2
6、 1 x变化主要取决于cos 振幅按2A1cos变化 图2 3给出了两个同方向频率近似的简谐振动合成图 图2 3两个同方向 频率相近的简谐振动的合成图 2 两个相互垂直方向简谐振动的合成 考虑两个相互垂直方向简谐振动 其运动方程为 x A1cos 1t 1 y A2cos 2t 2 2 7 现分为以下两种情况进行讨论 1 若 1 2 则有合振动方程为 2 8 当初相差 2 1满足以下条件时 有 2 1 0 一 三象限直线方程 2 1 二 四象限直线方程 2 1 1 椭圆方程 图2 4所示为两个频率相同 振幅相等 相互垂直而相位差为 4 2 3 4的质点轨迹曲线 图2 4两个频率相同 振幅相等
7、相互垂直简谐振动的合成 a 相位差为 4 b 相位差为 2 c 相位差为3 4 2 若 1 2 且满足一定整数倍数比关系时 则会出现利萨如图形 当两个相互垂直简谐振动的频率比为整数比时 合振动的轨迹将为稳定的闭合曲线而且是具有周期性的 图2 5所示为两个频率不同 满足 1 2 3 2 振幅相等 相互垂直而相位差分别为0 8 4下的质点轨迹曲线 这样的轨迹图形称为利萨如图 图2 5利萨如图形 a 相位差为0 b 相位差为 8 c 相位差为 4 2 2 1阻尼情况下物体运动的速度 时间 v t 曲线 例2 3 质量为m的摩托快艇以初速度v0行驶 它受到的摩擦阻力与速度成正比 设比例系数为K 则F
8、Kv 试求关闭发动机后 速度v对时间t的变化规律 取v0 10m s K m 1 250 0 004kg s 2 2阻尼运动与阻尼振动的模拟 解物理分析与数学模型 方法1 根据牛顿运动定律知F ma m Kv 即 因此有 或v v0e At 其中A v t曲线可以用函数作图法得到 方法2 用替代 差商法 即 即 v Av t 因此有 vi 1 vi Av t 采用以上公式选取初值后进行迭代 即可得到v t曲线 如图2 6所示 这种方法又称为函数近似值作图法 例2 3程序中的v和v1分别为方法1和方法2中所得计算结果 程序中的a为题中的A 图2 6阻尼情况下物体运动的v t曲线 计算程序 ope
9、n 1 file vt dat write inputa v0 t read a v0 t v1 v0 t0 0 v10 v0 write 1 t0 v0 v10 dt t 1000 do10j 1 1000 tt t float j 1000 v v0 exp 1 a tt v1 v1 a v1 dt 10write 1 tt v v1 end 2 2 2阻尼振动 我们知道 弹簧振子的阻尼振动满足以下方程 0 2 9 其中 为阻尼因子 0为弹簧振子的角频率 试用函数近似法作出位移与时间的函数变化曲线 解将二阶微分方程化为一阶微分方程 由式 2 9 可得 同样采用差商近似 用替代 有 v f
10、x v t 即 vi 1 vi f x vi t 而 x v t 因此有 xi 1 xi vi t 例2 4 试利用函数近似法画出当 0 1 0 1 t 0时 x 1 0 v 0 0 0 t 25 t 25 1000下的阻尼振动x t曲线 解图2 7根据以上函数近似法给出了x t v t曲线示意图 图2 8给出了不同阻尼情况下x t曲线示意图 例2 4程序中的B和w0分别对应于题中的 和 0 图2 7阻尼振动曲线 图2 8不同阻尼情况下的振动曲线 计算程序 open 1 file v t dat open 2 file x t dat write inputB w0 x0 v0 t read
11、B w0 v0 x0 t dt t 1000 v v0 x x0 tt0 0 0 write 1 tt0 v0 write 2 tt0 x0 do10j 1 1000 tt float j dt f 2 B v w0 2 x v v f dt x x v dt write 1 tt v 10write 2 tt x end 两列振幅 振动方向和频率都相同而传播方向相反的同类波相干叠加形成驻波 驻波是两列波的叠加 没有单向的能量传输 驻波在声学和光学中都有重要的应用 设有两列振动方向相同 振幅相同 频率相同的平面余弦波 分别沿X轴的正 负方向传播 如图2 10所示 如以A表示它们的振幅 以 表示
12、它们的频率 表示波长 则它们的波函数可分别写为 2 10 2 3驻波的模拟 按叠加原理 合成的驻波波函数为 2 11 利用三角函数关系 上式可以简化为 2 12 式中因子cos2 t是时间t的余弦函数 说明形成驻波后 各质点都在作同频率的谐振动 另一因子2Acos2 是坐标的余弦函数 说明各质点的振幅按余弦函数规律分布 由驻波表达式 2 12 可知 在x值满足下式的各点振幅为0 k 0 1 2 或 x 2k 1 k 0 1 2 这些点就是驻波波节处 相邻两波节的距离为 xk 1 xk 即相邻两波节间的距离是半波长 在x值满足下式的各点振幅最大 2 k k 0 1 2 或x k k 0 1 2
13、这些点就是驻波的波腹处 相邻两波腹间的距离为 即相邻两波腹间的距离也是半波长 由以上的讨论可知 波节处的质点振动的振幅为零 始终处于静止 波腹处的质点振动的振幅最大 等于2A 其他各处质点振动的振幅则在零与最大之间 两相邻波节或两相邻波腹之间相距半波长 波腹和相邻波节间的距离为 4 即波腹和波节交替作等距离排列 图2 9给出了根据式 2 12 模拟驻波的流程图 图2 9驻波模拟流程图 图2 10利用以上流程图给出了不同时刻下 入射波 反射波及合成驻波的图形 其中v 1 2 A 1 虚线表示入射波 点画线表示反射波 实线表示合成驻波 图2 10从上向下各图依次表示t 0 T 8 2T 8 3T
14、8 4T 8等时刻各质点的振动位移的变化 其中C1 C2 C3 C4等各点始终保持不动 这些点就是波节 而D1 D2 D3 D4等各点就是波腹 而且清楚地看出 每一时刻 驻波都有一定的波形 此波形既不向右移 也不向左移 各点以各自确定的振幅在各自的平衡位置附近振动 没有振动状态或相位的传播 因而称为驻波 图2 10不同时刻下驻波的模拟 a t 0 b t T 8 c t T 4 d t 3T 8 e t T 2 对于驻波的相位问题 由于振幅因子2Acos2 在x取不同值时有正有负 如将相邻两波节之间的各点称为一段 每一段各点cos2 具有相同的符号 而相邻的两端符号总是相反的 这说明在驻波中同
15、一段上各质点的振动相位相同 而相邻两段中的各点振动相位相反 因此同一段内各点沿相同方向同时达到各自振动位移的最大值 又沿相同方向同时通过平衡位置 而波节两侧各点同时沿相反方向达到振动位移的正 负最大值 又沿相反方向同时通过平衡位置 通过以上分析可知 在驻波进行过程中 没有振动状态 相位 和波形的定向传播 可以证明也无能量的定向传播 这也是行波和驻波的重要区别所在 需要说明的是 在弦线上进行的驻波实验 反射点处弦线是固定不动的 这一点只能是波节 这说明反射波和入射波的相位在反射点正好相反 即入射波在反射点反射时相位有 的突变 根据相位差 与波程差的关系相位差为 就相当于半个波长的波程差 这说明对
16、固定端的反射点来说 反射波和入射波之间存在着半个波长的波程差 这种相位突变 称为半波损失 当波在自由端反射时 则无相位突变 形成驻波时 在自由端出现波腹 2 4点电荷与点电荷系的电场模拟 2 4 1等势线方程 以下考虑作出满足等势线方程V x y V0的等势线 例2 5 求点电荷q在点 x y 处产生的电势 解等势线方程为 2 13 即方程 表示圆心在 a b 半径为q V0的圆 由上式可得 画图时可采用如下参数方程 例2 6 已知两个点电荷的电势分布如图2 11所示 求等势线方程 图2 11两个点电荷的电势分布 解由图2 11可知 等势线方程为 2 14 其中 r1 x x1 2 y2 1 2 r2 x x2 2 y2 1 2 显然由V x y V0不易给出y x 0的显式形式 2 4 2等势线V x y V0的绘制 考虑一等势线方程V x y V0 有 因此 引入参数t 设想x t y t 则由上式可得 2 15 指定dt为一较小的数 如dt 10 3 计算出和 由上式可得dx和dy 若点 x y 处电势为V0 则 x dx y dy 处的电势也为V0 编程步骤如下 1 输入V0
