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1、一道联赛题的多种证法2003年全国高中数学联赛第13题是关于不等式的证明,原题为：设3/2X5，证明不等式：2 对于熟悉柯西不等式的学生，若对不等式左端稍加变形，这似乎是一道很简单的题目，本文将从考纲要求掌握的方法中归纳出它的一般证法。一、 基本不等式法证法1：由基本不等式知： 2= = =2+=2证法2：由基本不等式，及x5知 2+=（+）+（+） 2+2 =(+)2=22=2证法3：本证法也是联赛提供的标准答案，由基本不等式a2+b22ab及（a+b+c+d）2= a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)4(a2+b2+c2+d2)因此a+b+c+d2(当且仅当a=
2、b=c=d时取等号)取a=b=，c=,d=,则2+2=22因为,不能同时相等，所以2+2二、分析法证：欲证原不等式+2（-）12-x+24(20+x-2)又由基本不等式ab,有22x-3+15-x=12-x故只需证明12-x40+2x-4,而12-x40+2x-4428+3x9x2-136x+4800于是只要证=9x2-136x+480恒大于0（x5） 因为的对轴x=,而区间在x=的左侧，在上单调递减，则 （x），但0，故恒大于0（x5），进而原不等式成立。三、 换元法证：x5，令x=+则有2+=+（对后两项使用基本不等式）（再用基本不等式）=2（而上式等号不能同时成立） 故原不等式成立四、
3、构造函数法证：构造如下二次函数：=4t2-2(2+)t+(14+x)=2(t-)2+(t-)2+(t-)2 、在内不能相等，=0即2+22五、 导数法新课程中引入了微积分，既显示了对简单性的追求，又拓宽了数学思维的途径。这道题，我们可以利用导数所确定函数的凸性来证明。首先给出凸函数的有关定义与定理凸函数：如果定义在区间上上，且对任意的x1,，x2，以及恒有+（1-）称为上的凸函数。定理：若在（a, b）内0，则在（a, b）为凸的；若在（a, b）内，0，则在（a, b）为凹的。一般地，设在上，0，则对任意x1，i（0，1）i满足=1有证：设=，=-0在（0，+）上是凸函数。即=又2+而+2故
4、原不等式成立以上各种证法依次使用了基本不等式法，配方法，换元法及二次函数的性质，简单，巧妙。证明过程看上去并不难，但必须具备坚实的“双基”，尤其利用导数对不等式的证明，使得对函数与方程的理解进入了一个运动变化的新天地。真正好的朋友，从来不需要这些表面功夫。走在这漫漫俗尘，形如微尘的我们，每天忙碌的像只蝼蚁，哪有时间去整那些虚假的表面文章。那些沉淀在岁月里的真情实意，哪一个不是无事各自忙，有事时，却又从不问回报几何的真心相助？至于那些平日里看上去可以一起打闹，一起吃喝，一起厮混，看似好成一片的人，或许，只是你在多少次的四目相对之时，动了真心，存了真义，是你默默认定对方可称朋友，有困难的时候是你愿
5、意伸以援手，但未必对方一样。多少看似热情的人，内心是薄情的。而多少看似淡漠的人，内心实则一片温热。那些表面热诚的人，总是相安无事各自好，一旦你有事需要援助，别说大事，就是小事需代劳，你都会发现原来不过情比纸薄，对方远比你自己想的要现实的多。有些人，自从与你接近，内心就存有一份自己的打算。定是你于他而言，多少有些可用之处。正所谓无事献殷勤，非奸即盗。在这个功利心弥漫的世态下，没有哪一份意外的热情不无所图。不仅是职场如此，男人如此，就连女人也不能免俗。接孩子的时候，被困高层电梯下不来，一个电话打来，希望能帮忙照看一下放学的孩子。实在的人总是把别人毫不见外的信任，当作是一种荣幸，于是想都不用想就能一
6、口答应。可当你有事需要对方只是代笔签个字这样的举手之劳时，对方都能各种不情愿各种推脱，至此你终是发现，原来人与人之间真不是一杯换一盏的事儿。关键时刻，还是得找那些看似平时不联系，但一开口能力范围之内就愿意为你想办法的人。多少人天真的以为，认识的人越多，人脉就越广，自己就越厉害，其实，那些所谓的人脉，不过廉价。倘若你没有同等的利用价值，谁会与你建立起所谓的交际？最是谈钱伤感情，也最是感情不值钱。别结识了比自己优秀比自己有能力的人，就觉得有了依靠有了光环，自己不足够优秀，结识谁都没有用。在你困难需求的时候，你开口求助，能够推脱敷衍那算给面子，对你闭门不见佯装不熟也是情理之中。日久见人心，患难见真情
7、。平时是平时，别把平时当真情。这世上多少人变脸如翻书，有求于你一个样，各自安好一个样，最是有求于他嘴脸陋，让你瞬间就明白，何谓人情凉薄。随着年龄的增长，人心的不再纯澈，人与人之间的交往就不再那么的纯粹而真心了。也正是因为如此，才更要珍惜那些默默守护在你生活中的朋友。别看平时忙的少有见面，少有聊天，就连微信，都少有私信。但有事儿的时候，只一声招呼，谁能出力都会挺身而出，义不容辞。真正好的朋友，从来不需要这些表面功夫。走在这漫漫俗尘，形如微尘的我们，每天忙碌的像只蝼蚁，哪有时间去整那些虚假的表面文章。那些沉淀在岁月里的真情实意，哪一个不是无事各自忙，有事时，却又从不问回报几何的真心相助？至于那些平
8、日里看上去可以一起打闹，一起吃喝，一起厮混，看似好成一片的人，或许，只是你在多少次的四目相对之时，动了真心，存了真义，是你默默认定对方可称朋友，有困难的时候是你愿意伸以援手，但未必对方一样。多少看似热情的人，内心是薄情的。而多少看似淡漠的人，内心实则一片温热。那些表面热诚的人，总是相安无事各自好，一旦你有事需要援助，别说大事，就是小事需代劳，你都会发现原来不过情比纸薄，对方远比你自己想的要现实的多。有些人，自从与你接近，内心就存有一份自己的打算。定是你于他而言，多少有些可用之处。正所谓无事献殷勤，非奸即盗。在这个功利心弥漫的世态下，没有哪一份意外的热情不无所图。不仅是职场如此，男人如此，就连女
9、人也不能免俗。接孩子的时候，被困高层电梯下不来，一个电话打来，希望能帮忙照看一下放学的孩子。实在的人总是把别人毫不见外的信任，当作是一种荣幸，于是想都不用想就能一口答应。可当你有事需要对方只是代笔签个字这样的举手之劳时，对方都能各种不情愿各种推脱，至此你终是发现，原来人与人之间真不是一杯换一盏的事儿。关键时刻，还是得找那些看似平时不联系，但一开口能力范围之内就愿意为你想办法的人。多少人天真的以为，认识的人越多，人脉就越广，自己就越厉害，其实，那些所谓的人脉，不过廉价。倘若你没有同等的利用价值，谁会与你建立起所谓的交际？最是谈钱伤感情，也最是感情不值钱。别结识了比自己优秀比自己有能力的人，就觉得有了依靠有了光环，自己不足够优秀，结识谁都没有用。在你困难需求的时候，你开口求助，能够推脱敷衍那算给面子，对你闭门不见佯装不熟也是情理之中。日久见人心，患难见真情。平时是平时，别把平时当真情。这世上多少人变脸如翻书，有求于你一个样，各自安好一个样，最是有求于他嘴脸陋，让你瞬间就明白，何谓人情凉薄。随着年龄的增长，人心的不再纯澈，人与人之间的交往就不再那么的纯粹而真心了。也正是因为如此，才更要珍惜那些默默守护在你生活中的朋友。别看平时忙的少有见面，少有聊天，就连微信，都少有私信。但有事儿的时候，只一声招呼，谁能出力都会挺身而出，义不容辞。
