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1、 第二章随机变量及其分布2.4正态分布学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义（重点）；2能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义（重点）；3会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率（难点）.课前自主学习 研读提炼思考尝试【知识提炼梳理】1正态曲线与正态分布（1）正态曲线：函数，其中实数和为参数，的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线（2）正态分布：一般地，如果对于任何实数，随机变量满足 ，则称随机变量服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作如果随机变量服从正态分布，则记为温馨提示：注意区分参数和参数含义：参数是反映随机变量取值的平
2、均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计2正态曲线的特点及原则（1）正态曲线的特点曲线位于轴 上方 ，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值；曲线与轴之间的面积为；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如下左图；当一定时，曲线的形状由确定， 越小 ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大 ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如下右图 （2）原则正态总体几乎总取值于区间之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生若X，则对任意实数，有.特别地，当，时有，.温馨
3、提示：注意不要弄错参数和对正态曲线变化的影响.【思考尝试夯基】1思考判断（正确的打“”，错误的打“”） （1）函数中的参数，的意义分别是样本的均值与方差. （ ）（2）正态曲线是单峰的，其与轴围成的面积是随参数，的变化而变化的.（ ）（3）正态曲线可以关于轴对称. （ ）解析 （1）错，函数中的参数，的意义分别是随机变量的均值与方差.（2）错，正态曲线是单峰的，其与轴围成的面积是.（3）对，当时，正态曲线关于轴对称.答案 （1）（2）（3）2已知随机变量服从正态分布，则等于 ()A. B. C. D.解析由题意知的均值为2，因此.答案D3设随机变量，若，则 ()A. B C D. 解析由得，所
4、以，即.答案C4正态分布的概率密度函数在内取值的概率为_解析由题意可知，且，所以.答案5设随机变量服从正态分布，若，则 .解析由正态分布的性质及条件得，所以.答案课堂师生互动 典例解惑探究突破类型1 正态曲线的图象和性质（自主研析）【典例1】把一条正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是()A曲线C2仍然是正态曲线B曲线和曲线C2的最高点的纵坐标相等C以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望大2D以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差大2自主解答正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲
5、线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标（即正态密度函数的最大值）不变，方差，也没有变化设曲线的对称轴为，那么曲线的对称轴则为，说明期望从变到了，增大了.答案 D【归纳升华】利用正态曲线的性质可以求参数、：（1）正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此性质结合图象求；（2）正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图象可求；（3）由的大小区分曲线的胖瘦变式训练 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.则该正态分布的概率密度函数的解析式是 解析 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于轴
6、对称，即.由，得.故该正态分布的概率密度函数的解析式是，.答案，.类型2 正态分布中的概率计算【典例2】在一次测试中，测量结果服从正态分布，若在(0,2)内取值的概率为0.2，求（1）在(0,4)内取值的概率；（2） 解析（1）由于，对称轴，画出示意图，因为，所以.（2）.【归纳升华】解决求某区间的概率问题，可以利用正态曲线的对称性，画出相应的正态曲线图象，应用数形结合把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分面积”问题变式训练 若随机变量服从正态分布，已知P，则 ()A B C D 解析由随机变量服从正态分布，得，所以.答案 C类型3 正态分布的实际应用【典例3】在某次数学考试中，考生的
7、成绩服从一个正态分布，即（1）试求考试成绩位于区间上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在间的考生大约有多少人？【解】因为，所以，.（1）由于在区间内取值的概率是，而该正态分布中，于是考试成绩位于区间内的概率就是.（2）由，得，.由于变量在区间内取值的概率是，所以考试成绩位于区间内的概率是，一共有名考生，所以考试成绩在间的考生大约有（人）【归纳升华】解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于，上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间的哪一个变式训练某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布，如果规定低于60分为不及格，求：（1）成绩不及
8、格的人数占总人数的比例；（2）成绩在8090内的学生占总人数的比例解（1）设学生的得分为随机变量，则，.分数在之间的学生的比例为，所以不及格的学生的比例为.即成绩不及格的学生占总人数的.（2）成绩在内的学生的比例为.即成绩在内的学生占.类型4 用错正态曲线的对称性致误（误区警示）【典例4】随机变量服从正态分布，如果，求【易错提示】求解时，若不注意结合图形对称性，易错解为.【防范措施】（1）由于，所以对称轴为，所以与(1,0)对称的区间应为(0,1)，与对称的区间为（2）针对的正态分布，求某区间上的取值概率时，常用如下两个公式：；.规范解答 如图所示，因为P，所以.所以，所以.类题尝试 如图所示
9、是一条正态曲线试根据该图象写出其函数解析式，并求出总体随机变量的期望和方差解 从给出的正态曲线，可知该正态曲线关于直线对称，最大值是，所以.由，解得.于是正态分布密度函数的解析式是，总体随机变量的期望是，方差是.课堂小结1正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计，参数就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计2对于有关正态分布的计算问题，要记住正态总体取值在区间(，)，(2，2)，(3，3)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用课后演练提升 A级 基础巩固一、选择题1设随机变量，则 ()A4
10、 B2 C. D1解析因为，所以，所以.答案 D2设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有 ()A， B， C， D，解析反映的是正态分布的平均水平，是正态密度曲线的对称轴，由图可知；反映的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知.答案 A3.（2015山东高考）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量服从正态分布，则,.）(A) (B) (C) (D) 解析，答案选(B) 4若随机变量的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则，的关系为 ()A B C D不确
11、定解析由正态曲线的对称性及题意知：，所以曲线关于直线对称，所以.答案C5已知某批材料的个体强度服从正态分布，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为()A0.997 3 B0.682 6 C0.841 3 D0.815 9解析由题意知，由，答案应选B.答案B二、填空题6设，则的值为_解析由题意可知，故.答案7已知正态总体的数据落在区间里的概率和落在区间里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为_解析由题意知区间与关于直线对称，因为区间和区间关于对称，所以正态分布的数学期望为.答案 8工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布，在一次正常的试验中，取个零件，不属于这
12、个尺寸范围的零件可能有 个. 解析因为，所以不属于区间内的零点个数约为个答案三、解答题9设，试求：（1）；（2）解因为，所以，.（1）.（2）因为，所以.10在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)若在内取值的概率为，试求（1）在内取值的概率（2）在(2，)内取值的概率（3）在(0，)内取值的概率解在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)，正态分布图象的对称轴为，因为，在(0,1内取值的概率为0.4，所以，随机变量在内取值的概率等于在(0,1内取值的概率，也为0.4，即(1)随机变量在(0,2内取值的概率为0.8.(2)又因正态分布图象的对称轴为，得在(1，)内取值的概
13、率为0.5，结合随机变量在内取值的概率为0.4，可求得在(2，)内取值的概率为.(3) 在(0，)内取值的概率为.B级 能力提升1以表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于 ()ABCD解析设，则答案B2据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分服从正态分布，考生共人，若一考生的综合评分为分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第_名解析依题意，故成绩高于分的考生人数为(人)所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第名答案3若在一次数学考试中，某班学生的分数为，且，满分为150分，这个班的学生共有人，求这个班在这次数学考试中及格（不小于分）的人数和分以上（不包括分）的人数解因为，所以，.所以的概率为，所以的概率为.
