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1、华南农业大学期末考试试卷（A）卷2005学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共24分）1.已知函数，在点处对的一阶导数_解答：2.设，则在极坐标系下的二次积分为_解答：积分区域就是，因此3.设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅立叶级数在时收敛于_解答：函数在处间断，且，从而傅立叶级数在处收敛于4._解答：5.函数在点处的全微分为_解答：，从而函数在该点处的全微分为6.若级数发散，则_解答：7.设由方程确定隐函数，则_解答1：两边对x求偏导得，从而解答2：两边微分得整理得，即于是8.微分方程的通解为_解答：特征方程为解得因此原方程的通解为二.选择题（
2、每题2分，共16分）1.微分方程的特解是（ ）A.B.C.D.解答：分离变量得两边积分得代入初始条件得，从而特解为选A2.设点是函数的驻点，则函数在处（ ）A.必有极大值B.可能有极值，也可能无极值 C.必有极小值D.必无极值 解答：选B3.二重积分（ ），其中区域所围成的闭区域A.B.C.D.解答：用极坐标系计算选B4.若在点处可微，则在点处沿任何方向的方向导数（ ）A.必定存在B.必定不存在C.可能存在也可能不存在D.仅在轴轴方向存在，其它方向不存在解答：选A5.若是以为顶点的三角形的边界，则（ ）A.B.C.D.解答：OA段的参数方程为，因此AB段的参数方程为，因此OB段的参数方程为，因
3、此从而选C6.设区域为开区域，函数在内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在内与路径无关的充分必要条件是（ ）A.B.任取区域内一条闭合曲线，有C.存在一个二元函数，使得D.以上答案都正确解答：选D7.设表示平面上被三个坐标面截下的部分，则为（ ）A.1B.C.D.解答：曲面的方程为，在xOy面上的投影D为x轴、y轴、所围区域，因此选B8.设，则（ ）A.B.C.D.解答：选D三.（本题13分）计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域解答1：由立体的形状及积分函数的特点，选先算二重积分再算一重积分的方法，把z放在最外层积分.在z轴上的投影为，当时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面为；当时，用垂直于
4、z轴的平面截立体所得截面为，从而解答2：用柱面坐标系计算在xOy面上的投影D为，又，因此四.（本题13分）计算曲线积分，其中为下半圆周，沿顺时针方向解答：直接计算非常麻烦，用格林公式就很简单，注意到，因此可以用积分与路径无关设为，x从3到-1，由于，因此积分与路径无关.而L与的起点终点相同，从而五.（本题13分）求级数的收敛区域以及和函数解答：该幂级数不能直接用定理求收敛半径，要用定理的推导思路去求由比值审敛法，当，即时，级数绝对收敛，当，即时，级数发散而当时，级数成为，一般项不趋于0，显然发散；当时，级数成为，发散从而原级数的收敛域为令，两边积分得两边求导得即六.（本题10分）设曲面是的外法线方向余弦，求解答：由高斯公式得七.（本题11分）试证曲面上任意一点处的切平面与各坐标轴上的截距之和等于解答：设为曲面上任意一点，则该点处的法向量为从而M处的切平面方程为即因此切平面在三个坐标轴上的截距分别是，截距之和为8 / 8
