ch线性代数

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1、第一章 线性代数本章要求了解线性代数的一些基础知识，了解矩阵的基本概念和简单运算，运用初等变换求矩阵的秩，会计算行列式的值，并能解一般的线性方程组1.1矩阵及其初等变换教学要求本节要求读者从线性方程组的求解导出矩阵、初等变换和秩的定义要求掌握矩阵的基本概念，熟练运用初等变换将矩阵化成阶梯形，从而掌握求矩阵的秩的方法，并能求出一般线性方程组的解1 熟悉矩阵、初等变换和秩的定义2 熟练运用初等变换将矩阵化成阶梯形，掌握求矩阵的秩3 能求出一般线性方程组的解知识点1. n元线性方程组2. 矩阵的定义和应用3. 初等变换和矩阵的秩1.1.1 n元线性方程组1.n元线性方程组在自然科学与社会经济领域，常

2、常碰到线性方程组的问题，它的解决方法构成了现代数学最基础也是结果最完整的一套理论: 线性代数所谓线性，是指方程组中包含的变量(未知数)都是一次的n元线性方程组的定义我们将以下包含n个未知数x1,x2,xn和m个线性方程的方程组称为一个n元线性方程组若 则称方程组为齐次（线性）方程组满足方程组的数组 称为方程组的一个（特）解若方程组有不止一个解，则称所有解的共同的表达式为通解若两个方程组有相同的非空解集合，则称两个方程组为同解方程组2阶梯形方程组对于一般的线性方程组, 我们很难直接断定是否有解，但有些特殊类型的方程组我们则很容易求出其解例如以下的上三角形方程组：其中我们很容易从第个方程中解出，再

3、将解出的 带入第个方程后就可解出，如此反复即可解出每一个阶梯形方程组的定义上三角形方程组或将上三角形的方程组去掉若干个方程后所得到的方程组,我们之为阶梯形方程组我们通过以下的具体例子来说明阶梯形的方程组是怎样求通解的我们发现该方程组是将五阶的上三角形方程组去掉第二和第四个方程后得到的，于是我们就令 和, 其中,为任意的实数，再将所有的任意常数都移到方程的右端，我们又得到了一个三阶的上三角形的方程组，于是上面阶梯形方程组所有的解(带有两个任意常数,的通解)，就可通过上三角形的方程组的解法解出来了 需要事先指出的是所有的线性方程组最终都可以化为同解的阶梯形方程组, 这个过程也可以用下面要定义的矩阵

4、及其变换来实现.1.1.2 矩阵的定义和应用1矩阵的定义当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵的概念了所谓矩阵，就是一个数表，但是这个数表已除去了数据的来源和意义，只有一个由数字构成的矩形的方阵比如，下图是一个单位人员构成的图表， 主任 副主任 工程师 工人 临时工 厂办 1 2 1 3 无 第一车间 1 1 5 52 2 第二车间 1 2 9 150 3 第三车间 1 1 4 19 无当我们把表中的文字说明部分去掉，并把缺省的项目填成数字0，就得到了一个只有数字的数表 ，这种数表就称为矩阵矩阵的定义我们将形如 的矩形数表, 称为一个mn阶矩阵，其中m与n分别是矩阵的行数与列数，阵列中第i行第j

5、列() 处的称为矩阵的第i行第j列元素， 的第一个下标i是行的序号, 第二个下标j是列的序号当m = n时，特别称为n阶方阵或n阶矩阵当m = n = 1时，矩阵就是一个数，我们不再加括号表示了注意，在数学理论当中，一个矩阵中的mn个元素可以是数 (整数, 实数或复数)，也可以是其他研究对象 (例如函数、文字、甚至更小的矩阵等等)，本课程只讲元素是实数的矩阵 假如我们抽出矩阵的第行来，构成一个1n阶矩阵 （注意元素间只须留出空隙，并不用逗号分开），称为的第i个行(向量) 同理，的第j个列(向量)是m1阶矩阵这样，又可表示成 我们一般用大写的英文字母表示矩阵等, 有时矩阵也可以简写成 ，表示矩阵

6、A第i行第j列元素为， 两个mn阶矩阵与称为相等的，如果 (，)，此时记作注意，行数或列数不等的矩阵决不能相等例1.1.1 如果矩阵的mn个元素均为0，则称A为零矩阵，记作0mn，常简记作0，而不标明下标mn 如果把mn阶矩阵的第i行改为第i列，第j列改为第j行，就可得到一个新的nm矩阵，记作，称为A的转置(矩阵)，具体表示如下： 若，则显然，n阶方阵的转置仍是n阶方阵，而且对任何矩阵A，有2系数矩阵和增广矩阵矩阵理论的应用，最常见也是最重要的就是解线性方程组假如我们有一个n元线性方程组则我们将由方程组左端的mn个系数（缺省的算0）相互位置不变所得到的矩阵 ,称为方程组的系数矩阵，将再把方程组

7、右端的m个已知参数组成m1阶矩阵 与A合在一起共同构成的一个m(n + 1) 阶矩阵 ,称为线性方程组的增广矩阵显然，所有的方程组与所有的矩阵（列数大于1）之间有一个1-1对应因而，我们可以将方程组的问题转化为矩阵的问题例1.1.2. 三元线性方程组的系数矩阵是，增广矩阵是1.1.3初等变换和矩阵的秩1初等变换我们知道方程组与列数超过1的矩阵之间通过增广矩阵有一个1-1对应，那么当我们用消元法解线性方程组时，同解的方程组之间对应的增广矩阵又有什么样的变化呢？我们还是先回到具体的例子中来三元线性方程组 的增广矩阵是，该方程组的消元解法如下：先用(3)式加上(1)式的2倍，即可消去(3)式中的未知

8、数，得到一个同解方程组增广矩阵变为，再用(4)式减去(2)式的倍, 又得同解方程组增广矩阵变为 ，再在方程(5)的两边乘以，又得同解方程组增广矩阵变为，然后再将代入(2)式可得, 最后将，代入(1)式即得方程组解 以上增广矩阵的变化就是矩阵的初等行变换 除去这些行变换外, 还有一种很有用的行变换是交换矩阵的两行，相当于交换两个方程的次序综合以上三种变换，我们有以下定义初等变换的定义. 对矩阵A施行的下列三种变换称为A的初等行变换： (1) 交换A的第i行与第j行，记作；(2) 用一个非零实数c乘以A的第i行，即用该数乘以该行的每个元素，所得各数按原来次序作为同一行的元素, 记作；(3) 用一实

9、数c乘以A的第j行 ( 如 (2) 中所述 ) 后， 再加到A的第i行上，记作（我们也称之为第i行加上第j行的c倍），当 时，也记作 当上述三种变换中的行改为列时，我们称为A的三种初等列变换六种变换统称为初等变换例1.1.3. 令, ， 求x,y,z,w, 使得B1=B2 解. 根据矩阵相等的定义, x,y,z与w必须满足 整理得x,y,z,w满足的线性方程组 .现用矩阵的初等行变换来求此方程组的解该方程组的增广矩阵是 因第一行第一列的元素为0，因此将的第一、二两行交换，使得第一行第一列的元素不为0， 这样我们就可以通过如下的行变换把矩阵化为一个第一列只有一个非零元（处在第一行，最好取为1）的

10、矩阵然后我们将保持第一行不动，只对矩阵第二行以后的元素做初等行变换了此时如果第二列处在第二行之后的元素不都为0，则我们把由第二行和第二列以后的元素构成的小一阶的矩阵再重复实行上述变换；如果第二列的处在第二行以后的元素全为0，则我们直接从第三列的处在第二行之后的元素进行同样的处理反复进行这个过程，我们就可以通过初等行变换将一个矩阵化为上三角形的方程组的增广矩阵，然后就很容易把方程的解求出来由此解得x=8，y=3，z=6，w=0 2. 阶梯形矩阵 我们知道阶梯形（包括上三角形）方程组的通解很容易求，那么阶梯形方程组的增广矩阵又有什么特征呢？阶梯形矩阵的定义. 如果矩阵中每一行第一个非零元素（称为该

11、行的非零首元）必在上一行非零首元的右下方， 则我们称这样的矩阵为阶梯形矩阵很显然，阶梯形方程组的增广矩阵都为阶梯形矩阵，但是阶梯形的矩阵可能对应一个没有解的方程组比如矩阵（0 1）就对应一个矛盾的方程例1.1.4 设 a) , b) , c) , d) 其中a), b), d)是阶梯形矩阵；而c)不是，因为其第5行非零首元3不在上一行非零首元的右下方，而是在的正下方定理1.1.1. 任意矩阵A均可经有限次初等行变换化为阶梯形，虽然化成的阶梯形矩阵不唯一，但所有化成的阶梯形矩阵都具有相同个数的非零行（即该行至少有一个元素不为零），我们称这个数为矩阵A的秩，记作r(A)我们略去此定理的一般证明，用

12、一个具体实例来说明定理的结论例1.1.5. 将矩阵 化为阶梯形解. 最后的矩阵是阶梯形了如果对上述再施行两个行变换：及，即得更简单的阶梯形矩阵，再进一步，对施行四个初等列变换： 即将第一列的倍加到第五列上，及, ，又可将化成所谓标准形矩阵，即 3标准形矩阵的定义标准形矩阵的定义. 如果mn阶矩阵满足, (其中r不大于m和n)，除此以外所有元素均为0，则称该矩阵为标准形矩阵标准形矩阵的秩显然等于其非零元的个数从以上的例子中不难看出，每个矩阵都可经有限次初等变换化为标准形可以证明的是标准形的得到与施行怎样的初等变换（不管是行变换还是列变换）无关，即所有矩阵的标准形都与原矩阵具有相同的秩例1.1.6

13、. 把矩阵化为阶梯形，并求A的秩及标准形解： 此即A的一个阶梯形矩阵，且因其有2个非零行(第1行与第2行)，故，且A的标准形是需要注意的是，矩阵A化成的阶梯形不是唯一的，而标准形是唯一的，标准形就是一个特殊的阶梯形习 题1.1.1 判断下列矩阵是否为阶梯形矩阵：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5)； (6) 1.1.2 化矩阵为阶梯形及标准形, 并求出它的秩1.1.3 化矩阵为阶梯形及标准形, 并求出它的秩1.1.4 化矩阵为阶梯形及标准形, 并求出它的秩1.1.5 求线性方程组的解1.1.6 求线性方程组的解1.1. 7 矩阵与矩阵的秩是否相等？1.1.8矩阵与矩阵的秩相等么？

14、思考题1.1.9两个同型矩阵秩相等的充要条件是不是它们的标准形相同？1.1.10假设矩阵A不可能通过初等变换化为同型矩阵B，则A与B的秩一定不相等么？1.1.11假设矩阵A不可能通过初等行变换化为同型矩阵B，则A与B的秩一定不相等么？1.1.12已知同型矩阵A、B为两个线性方程组的增广矩阵，且r(A)=r(B)，则两个线性方程组是否有相同的解1.1.13矩阵是否为阶梯形矩阵？1.1.14不存在其秩大于其行数或列数的矩阵么？1.1.15已知矩阵只有i个非零元，那么它的秩为i么？1.1.16一个矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩么？1.2矩阵的运算教学要求本节要求熟练掌握矩阵运算的基本法则，学会用矩阵的运算法则重新解释线性方程组的关系，熟练运