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1、知识点十一 二元函数的极限方法： 1.可套用一元函数求极限的各种方法方法，但不能套用罗必达法则. 2.证明极限不存在时，需采用不同路径逼近，一般采用直线方向，不同表示不同方向；需要时，也可沿其它曲线路径.典型例题：1.求极限 解： 2. 求极限 解： 3求极限 解： 4求证函数当时，极限不存在. 证明：沿直线方向考察， ， 其值随 k 的不同而变化.所以极限不存在.5证明证明：，而，根据夹逼准则有典型练习1 23 45 67知识点十二 偏导数求法：求时，只要把之外的其他自变量暂时看成常量，对求导数即可.求时，只要把之外的其他自变量暂时看成常量，对求导数即可.其他类推.分片函数在分界点的偏导数：
2、 严格用定义求.典型例题：1.求在点处的偏导数 解：，.，2设，求证 解：对是幂函数，对是指数函数，所以， 3设，求. 解：先求，当时，即且时，在点， 所以，同理 4验证函数满足拉普拉斯方程 证明：， 同样可求， 所以典型练习（以教材中的练习为主） 1. 设，则 . .2求下列函数的一阶偏导数. （1） （2）（3） （4） （5）. （6）3. 设，求证：4. 求下列函数的二阶偏导数. （1） （2）知识点十三 全微分内容： 1.定义：如果函数在点的全增量可以表示为，其中不依赖于而仅与有关，则称函数 在点 可微分， 称为函数 在点的全微分，记为，即. 2.可微的必要条件： 如果函数在点可微分
3、，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为，或.3.可微的充分条件：如果的偏导数、在点连续，则该函数在点可微分.函数可微具有连续偏导函数连续偏导存在4.可微、可导、连续的关系5全微分的求法：典型例题：1. 计算函数 在点处的全微分.解：， 所以，在处的全微分.2求函数，当、，时的全微分. 解：， 3试证函数(1) 在点连续且偏导数存在；(2) 在点不可微.证明：（1）因为 所以在点连续； ， ， 即，函数在点偏导数存在.（2）如果考虑点沿着直线趋近于，则 即，所以在点不可微.典型练习（以教材中的练习为主）1设，则 . 2设，则 .3设讨论在（1）.偏导数是否存在.（2）.是否可微.知
4、识点十四 多元复合函数的偏导数公式： 多元复合函数的偏导公式根据复合过程的不同有不同的形式，关键在于搞清变量（函数、中间变量、自变量）间的关系，作出示意图，根据口诀“连线相乘、分线相加”写出公式.形式1：为函数，为中间变量，为自变量形式2：为函数，为中间变量，为自变量形式1：为函数，为中间变量，为自变量公式1： ， 公式2： ，（只有一个自变量的导数，又称为全导数）公式3： 特别注意：抽象的多元复合函数的高阶偏导的计算过程中，对复合函数，对中间变量（）的偏导数仍是以为中间变量的复合函数.典型例题：1设 ，而 ， 求 和.解：2设，而，求全导数.z t uvt解： 3设，而，求.z uxyxy解
5、： z uxy4，且具有一阶导数，求.解：令，则w uvxyz5. 设，具有二阶连续偏导数，求和.解：令，则，记，uvxyz ，而 ，所以典型练习（以教材中的练习为主）1求下列复合函数的各个一阶偏导或全导数：（1），而 （2），而（3），而 （4），而2设为二元可微函数，则 32011（1）设函数，则 42009（1） 设函数具有二阶连续偏导数，则 52005（1）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 【 】(A) ； （B）； (C) ； (D) 6求下列函数的各个二阶偏导数（1）， （2）72011（1）设函数，其中函数具有二阶连续导数，函数可导且在处取得极值，求知识点十
6、五 隐函数的偏导数公式：1一个二元方程情形：确定一个一元隐函数2一个三元方程情形：确定一个二元隐函数，3两个四元方程情形：确定两个二元隐函数，；，.对于此公式，不应死记硬背.按照推导公式的过程求解：两个方程两边对求偏导，得到的二元代数方程，解得；然后两个方程两边对求偏导，得到的二元代数方程，解得.典型例题：1已知，求解：令，则 ， 所以.2设，求.解：令，则， 32010（1）函数由确定，可微，则(A) ； (B) ； (C) ； (D) 解：， ，故选(B).4设，求解：两个三元方程可确定两个一元隐函数，在此是两个方程两边对求偏导，得 典型练习（以教材中的练习为主）1由方程确定的函数，在点处
7、的全微分 .2设，则+= .3设，其中可微，则= .4，求 5设，求，；，知识点十六 空间曲线的切线方程与曲面的切平面方程内容：（一）空间曲线的切线关键是方向向量： （1）曲线方程为参数方程，则在点，（2）曲线方程为一般方程，可确定两个一元隐函数，曲线可表示为参数方程，则再点， （二）曲面的切线关键是法向量：（1）曲线方程为，则在点，.（2）曲线方程为，则在点，（3）若假定法向量的方向是向上的，则其方向余弦为下面这点很重要：曲面在点的切平面上面积为的一块区域，在平面上的投影面积为：.典型例题：1. 求曲线，,在处的切线和法平面方程. 解：当时，.，所以在处的切线的方向向量为. 切线方程为，法平
8、面方程为.2求曲线，在点处的切线及法平面方程. 解：将所给方程的两边对求导并移项，得， ，在点切向量为切线方程为，法平面方程为，即.3求曲面在点处的切平面及法线方程.解：令，切平面方程为：，法线方程为：.4求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程. 解：，切平面方程为：法线方程为：典型练习（以教材中的练习为主）1.曲线在的点处切线方程为_ _；法平面方程为_ _.2.曲面在点处的切平面方程为_；法线方程为_.3.求出曲线上的点,使在该点的切线平行于平面.4.求球面与抛物面的交线在处的切线方程.5.求椭球面上平行于平面的切平面方程.6.试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于知识点十七
9、方向导数与梯度内容： 1. 方向导数是函数沿指定方向的变化率，二元函数沿任意方向（方向角为）方向导数存在的一个充分条件是：函数可微，且.同理，三元函数沿任意方向（方向角为）的方向导数为. 2函数的梯度是个向量，是函数方向导数最大（也即增长最快）的方向向量.若函数在区域D内具有一阶连续偏导数，则在点的梯度.梯度的方向导数就是它的模.典型例题： 1求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数. 解：， 方向导数2求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数.解：， ， 方向导数3求函数 在点 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零向量？ 解：所以，显然在处梯度为零向量.典型练习（以教材中的练习为主）
10、1函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与 ，而它的模为方向导数的 .2设，则 .3求在点处沿曲线的内法向量的方向导数.4求函数在点处变化最快的方向，并求沿此方向的方向导数.知识点十八 多元函数的极值内容：1.无条件极值的判定：设函数 在点 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则(1) 时具有极值，且当时有极大值， 当时有极小值；(2) 时没有极值；(3) 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论. 2最值的一般求法：将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.3.条件极值：是对自变量有附加条件的极值.利
11、用拉格朗日乘数法解决. （1）目标函数，约束条件函数 先构造函数 ，其中为某一常数，可由解出，其中就是可能的极值点的坐标. （2）拉格朗日乘数法可适合于多元函数，在多个约束条件下的极值，如： 目标函数，约束条件函数 先构造函数（其中均为常数） 求解方程组，解出，即得可能极值点的坐标.典型例题：1. 2009（1）求二元函数的极值.解：，得驻点：.，在驻点， ，所以，在取得极小值，极小值为.2求 函数 的最大值和最小值. 解：， 得驻点 和 因为 ，即边界上的值为零.，所以最大值为，最小值为.3将正数12分成三个正数之和 使得 为最大. 解：令 则由（1），（2）得，由（1），（3）得，代入（4）得 解得：，即得唯一驻点，这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得.最大值为：.典型练习（以教材中的练习为主）1求函数的极值.2求函数的极值.3求函数在在闭区域上的最大值与最小值4求函数满足附加条件的极大值.5抛物面被平面截成一个椭圆，求此椭圆上的点到原点距离的最大值与最小值.62008（1）已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点.15 / 15
