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1、北京市昌平区新学道临川学校2020届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：，所以的虚部是，故选C考点：本题主要考查复数的概念及其代数运算点评：简单题，首先计算并化为代数形式，再确定虚部2.设集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解不等式，求出集合，再与集合求交集即可.【详解】因为，又，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题型.3.已知，则（ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】D【解析】【分析】由同角三角函数基本关系将转化，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选D【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，属于基础题型.4.某校开设共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，则与未同时被选中的概率为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求与同时被选中的概率，再由互为对立事件的概率之和为1，即可求出结果.【详解】记“与同时被选中”为事件A，所以事件A发生的概率为，所以与未同时被选中的概率为.故选D【点睛】本题主要考查古典概型，属于基础题型.5.，使得，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由分离参数得到
3、，求出的最小值即可.【详解】因为，所以，当且仅当时，取等号，所以只需，故选B.【点睛】本题主要考查利用基本不等式处理不等式成立的问题，属于基础题型.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】由三视图先确定几何体的形状，由体积公式即可求解.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为等腰直角三角形，且腰长为2，三棱柱的高为2，所以该三棱柱的体积为.故选A【点睛】本题主要考查由三视图来求几何体的体积，属于基础题型.7.设向量，满足，则( )A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则求解其模即
4、可.【详解】由题意结合向量的运算法则可知：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设为等差数列，为其前项和，若，则公差( )A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质和前n项和的定义求解公差即可.详解】由题意可得：，则，等差数列的公差.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查数列的前n项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知是抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若为等边三角形，则的离心率（ ）A. B.
5、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出，的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程，解得，可得，为等边三角形，可得，即有，则故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题10.已知函数的图像与轴相切，则( )A. -1B. 0C. D. 1【答案】A【解析】【分析】先设切点坐标，再由题意可得且，解方程组即可求出.详解】设切点为，由得，所以，所
6、以由题意可得，所以，由函数与的图像易知，两函数交点只有一个，且横坐标为0，所以解得，所以.故选A.【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的切线问题，通常先设切点坐标，由题意列方程组求解，属于基础题型.11.已知圆锥的顶点为，为底面中心，为底面圆周上三点，为底面的直径，为的中点，为弧的中点.设直线与直线所成角为，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先取OA中点N，连结MN，NC，只需说明等于直线与直线所成角，再解三角形即可求出结果.【详解】因为在圆锥中，为底面的直径，为圆锥的顶点，所以底面，取OA中点N，连结MN，NC，因为为的中点，所以,故等于直线与直线所成角.设,由题意
7、，所以,故,所以,故，选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，只需用立体几何法在几何体中作出异面直线所成的角，解三角形即可，属于基础题型.12.已知点在圆上，为中点，则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圆的特征可确定为锐角，因此只需求出的正切值的最大值即可.【详解】设，因为为中点，所以，所以，因为点在圆上，则,不妨令，则，令，则所以当且仅当时，取最大值，故.故选C.【点睛】本题主要考查函数的综合，通常情况下，需要依题意表示出所求的量，通过求函数的值域来确定结果，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，满足约束条件则的最
8、大值为_【答案】2【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.14.已知函数则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.【详解】结合函数的解
9、析式分类讨论：当时，解得：，此时，当时，解得，此时，综上可得，不等式的解集为.【点睛】本题主要考查分段函数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知是数列的前项和，则_【答案】【解析】【分析】由和，可求出数列的通项公式，从而可求出结果.【详解】因为是数列的前项和，所以由，所以，所以数列是以为公比的等比数列，又，所以，故,所以.【点睛】本题主要考查等比数列，属于基础题型.16.若函数（，）的图像关于点对称，且在上单调递减，则_【答案】3【解析】【分析】由函数图像关于点对称，且在上单调递减，可列出关于的不等式组，再由，可求出结果.【详解】因为的图像关于
10、点对称，且在上单调递减，所以有，即，又 ，因为，所以有，所以，因为,所以，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，通常借助函数的单调性和周期性来处理，属于中档试题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.如图，在梯形中，为上一点，.（1）若，求；（2）设，若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先由题中条件求出，再由余弦定理即可求解；(2)先由，表示出，进而可用表示出，再由，即可求解.详解】解：（1）由，得.在中，；在中， 在中，由余弦定理得，
11、 （2）因为，所以，在中，；在中， 由得， 所以，即， 整理可得【点睛】本题主要考查解三角形的问题，常用余弦定理和正弦定理等来处理，属于基础题型.18.在三棱柱中，侧面是菱形，平面平面，为的中点，.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】(1)由直线与平面垂直的判定定理，结合题中条件，即可证明结论成立；(2)由三棱柱的体积公式，即可求解.【详解】解：（1）连接平面平面，平面平面，且，平面，平面， 而平面，又，则有，四边形是菱形，为边长为2的等边三角形， 为的中点，即，又，平面.（2）由（1）得，又，平面，而平面，又，则有，所以的面积为 由（1）可
12、知平面，三棱锥的体积 【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定定理，以及几何体的体积，属于基础题型.19.近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：年份2008200920102011201220132014201520162017年份序号12345678910工业增加值13.213.816.519.520.922.223.423.724.828依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.5.520.682.5211.52129.6（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值（万亿元）与年份序号
13、回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数，其拟合指数；研究人员乙采用函数，其拟合指数；研究人员丙采用线性函数，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数与拟合指数满足关系）.（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.附：样本 的相关系数，.【答案】（1）见解析（2）（3）2019【解析】【详解】（1），.因为越大，拟合效果越好，所以丙的拟合效果最好（2），.因此关于的线性回归方程为（3）从2008年开始计数，2018年是第11年，其工业增加值的预报值：.2019年是第12年，其工业增加值的预报值：.故可以预测到2019年的工业增加值能突破30万亿元大关【点睛】本题主要考查回归方程的求解与应用，相关系数的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】
