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1、考点测试34二元一次不等式组与简单的线性规划高考概览考纲研读1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决一、基础小题1不等式y(xy2)0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是()答案C解析由y(xy2)0,得或所以不等式y(xy2)0在平面直角坐标系中表示的区域是C项2.已知点A(3,1)与点B(4,6)在直线3x2ya0的两侧,则实数a的取值范围是()A(24,7)B(7,24)C(,24)(7,)D(,7)(24,)答案B解析(92a)(1212a)0,所以
2、7a24.故选B.3若实数x,y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A3 B. C2 D2答案C解析因为直线xy1与xy1互相垂直,所以如图所示的可行域为直角三角形,易得A(0,1),B(1,0),C(2,3),故|AB|,|AC|2,所以其面积为|AB|AC|2.4若变量x,y满足约束条件则3x2y的最大值是()A0 B2 C5 D6答案C解析作不等式组的可行域,如图:令z3x2y,则yx表示一系列平行于yx的直线,并且表示该直线的纵截距显然,把直线yx平移至点A处,z最大由得A(1,1)所以zmax3x2y325.故选C.5已知点(a,b)是平面区域内的任意一点,则3ab的
3、最小值为()A3 B2 C1 D0答案B解析根据题意可知(a,b)在如图阴影中,设z3ab.则b3az,所以z可以理解为y3xt中的纵截距t.因而当y3xt过点(0,2)时,t最大为2.即z最大为2,所以z最小为2.6若x,y满足约束条件则zx3y的取值范围是()A(,2 B2,3C3,) D2,)答案D解析作不等式组表示的平面区域,如图平移直线x3y0到点A时,z取得最小值,由解得点A,所以zmin2,无最大值故选D.7在如图所示的平面区域内有A(5,3),B(1,1),C(1,5)三点,若使目标函数zaxy(a0)取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的值是()A. B.C2 D.答案B解
4、析由题意知,当zaxy与直线AC重合时最优解有无穷多个因为kAC,所以a,即a.故选B.8已知实数x,y满足约束条件则|yx|的最大值是()A2 B. C4 D3答案D解析画出不等式组表示的平面区域(如图),计算得A(1,2),B(4,1),当直线zxy过点A时zmin1,过点B时zmax3,则1xy3,则|yx|3.9不等式组所表示的平面区域内的整点个数为()A2 B3 C4 D5答案C解析由不等式2xy6,得y0,y0,则当x1时,0y4,则y1,2,3,此时整点有(1,1),(1,2),(1,3);当x2时,0y1)的图象上的点,则实数a的取值范围是()A(3,) B(1,3)C3,)
5、D(1,3答案C解析作不等式组表示的平面区域D,如图中阴影部分所示由解得点A(3,1)由a1,对数函数的图象经过可行域,此时满足loga31,解得a3,所以实数a的取值范围是3,),故选C.12已知实数x,y满足则wx2y24x4y8的最小值为_答案解析目标函数wx2y24x4y8(x2)2(y2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方由实数x,y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,点(2,2)到直线xy10的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又,所以wmin.二、高考小题13(2018天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为()A
6、6 B19 C21 D45答案C解析由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)作出基本直线l0:3x5y0,平移直线l0,当直线经过点A(2,3)时,z取最大值,即zmax325321.故选C.14(2018全国卷)若x,y满足约束条件则zxy的最大值为_答案9解析不等式组表示的可行域是以A(5,4),B(1,2),C(5,0)为顶点的三角形区域,如图所示,由图可知目标函数zxy的最大值在顶点A处取得,即当x5,y4时,zmax9.15(2018全国卷)若x,y满足约束条件则z3x2y的最大值为_答案6解析根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:由z3x2y可得y
7、xz,画出直线yx,将其上下移动,结合的几何意义,可知当直线过点B时,z取得最大值,由解得B(2,0),此时zmax3206.16(2018全国卷)若变量x,y满足约束条件则zxy的最大值是_答案3解析作出可行域如图阴影部分由图可知目标函数在直线x2y40与x2的交点(2,3)处取得最大值3.17(2018浙江高考)若x,y满足约束条件则zx3y的最小值是_,最大值是_答案28解析由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,2)为顶点的三角形区域(含边界),如图当直线yx过点C(4,2)时,zx3y取得最小值2,过点B(2,2)时,zx3y取得最大值8.18(2018北京高考)若
8、x,y满足x1y2x,则2yx的最小值是_答案3解析由x1y2x作出可行域,如图中阴影部分所示设z2yx,则yxz,当直线yxz过A(1,2)时,z取得最小值3.三、模拟小题19(2018山西太原模拟)已知实数x,y满足则z2x2y1的取值范围是()A.,5 B0,5C.,5 D,5答案D解析作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,可知221z222(1)1,即z的取值范围是,5.20(2018南昌一模)设不等式组表示的平面区域为M,若直线ykx经过区域M内的点,则实数k的取值范围为()A.,2 B.,C.,2 D.,2答案C解析作不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示:由得A(1,2)
9、,由得B(2,1),平面区域M即为图中阴影部分ABC,直线ykx经过区域M内的点A时,k2,直线ykx经过区域M内的点B时,k,故k2,故选C.21(2018长沙统考)已知x,y满足约束条件若zaxy的最大值为4,则a()A2 B. C2 D答案A解析作不等式组表示的平面区域如图当直线l:yaxz经过AOB区域时,l在y轴上的最大截距为4,则点B(2,0)为最优解,所以z2a4,即a2,故选A.22(2018太原模拟)已知不等式ax2by2在平面区域(x,y)|x|1且|y|1上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A4 B8 C16 D32答案A解析作平面区域(x,y)|x|1
10、且|y|1,如图1所示该平面区域表示正方形ABCD内部(含边界)令zax2by,因为ax2by2恒成立,则函数zax2by在该平面区域要求的条件下,zmax2恒成立当直线ax2byz0过点A(1,1)或B(1,1)或C(1,1)或D(1,1)时,有再作该不等式组表示的可行域,即菱形EFGH内部(含边界)如图2所示其中H(2,0),F(2,0),E(0,1),G(0,1),所以动点P(a,b)所形成平面区域的面积为424.故选A.23(2018湖北八市联考)已知x,y满足若zx2y有最大值4,则实数m的值为()A4 B2 C1 D1答案B解析可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)
11、,如图阴影部分所示依题意,有直线yx的纵截距有最大值2,则结合图形可知需满足直线2xym过点(0,2),从而m2022,故选B.24(2018河北石家庄质检)在平面直角坐标系中,不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为,若x,y满足上述约束条件,则z的最小值为()A1 BC. D答案D解析作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由题意知r2,解得r2.z1,易知表示可行域内的点(x,y)与点P(3,2)的连线的斜率,由图可知当点(x,y)与点P的连线与圆x2y2r2相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3),即kxy3k20,则有2,解得k或k0(舍),所以zmin1.故选D.25(2018河北
12、石家庄质检)设变量x,y满足约束条件则的最大值为_答案3解析题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域,则表示可行域内点P(x,y)与B(0,1)的连线的斜率,由图知,当P位于A(1,2)时,取得最大值3.26(2018福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子,需要木工和漆工两个工种,已知生产一把椅子需要木工4个工作时,漆工2个工作时;生产一张桌子需要木工8个工作时,漆工1个工作时生产一把椅子的利润为1500元,生产一张桌子的利润为2000元,该厂每个月木工最多完成8000个工作时,漆工最多完成1300个工作时,根据以上条件,该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是_元答案2100000解析依题意,设每个月生产x把椅子、y张桌