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1、第1讲平面向量的概念及线性运算考纲解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义(重点)3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查预测2020年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1向量的有关概念2向量的线性运算3共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得ba.1概念辨析(1)在ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则()()(2)若a
2、b，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)下列命题正确的是()A若|a|b|，则ab B若|a|b|，则abC若ab，则ab D若|a|0，则a0答案C解析A错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B错误，向量不能比较大小；C正确，若ab，则a与b方向相同，故ab；D错误，若|a|0，则a0.(2)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A. B.C. D.答案D解析由题意得，故D错误(3)设a，b是不共线的两个向量，已知a
3、2b，4a4b，a2b，则()AA，B，D三点共线 BA，C，D三点共线CA，B，C三点共线 DB，C，D三点共线答案B解析因为a2b，所以a2b，所以(a2b)(4a4b)3a6b3(a2b)3.所以，所以A，C，D三点共线(4)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_(用a，b表示)答案baab解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以，a，所以ba，ab.题型 平面向量的基本概念1设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量
4、是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.2下列叙述错误的是_(填序号)若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同；|a|b|ab|a与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba；0；若ab，则ab.答案解析对于，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同对于，当a，b之一为零向量时结论不成立对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0时，不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以
5、0.对于，当0时，无论a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错误有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，是与a反方向的单位向量(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件 1给出下列说法：若A，B，C，D是不共线的四个点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件
6、；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等；若ab，bc，则ac.其中正确说法的序号是()A B C D答案A解析正确；错误，因为a，b的方向不一定相同；错误，.2给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0(为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中正确命题的序号为_答案解析错误，例如ABC中，与有公共终点，但不是共线向量；正确；错误，若a0(为实数)，则0或a0；错误，当0时，ab0，但a与b不一定共线题型 向量的线性运算1下列四个结论：0；0；0；0.其中一定正确的结论个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析正
7、确；错误，0；正确，()()0，正确，()()0.2(2017全国卷)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()Aab B|a|b|Cab D|a|b|答案A解析解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.3(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. B.C. D.答案A解析根据向量的运算法则，可得()，故选A.条件探究1把举例说明3的条件改为“点D在BC边上且CD2DB
8、，点E在AD边上，且AD3AE”，试用，表示.解由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得.条件探究2把举例说明3的条件改为“D为AB的中点，点E满足20”，试用，表示.解因为D为AB的中点，所以，所以.又因为20，所以2()()0，所以32，所以.1平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2向量线性运算的两个常用结论(1)在ABC中，D是BC的中点，则()，如举例说明3.(2)O为ABC的重心的充要条件是0. 1已知O，A，B，
9、C为同一平面内的四个点，若20，则向量等于()A. BC2 D2答案C解析因为，所以22()()20，所以2，故选C.2如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()AabB.abCabD.ab答案D解析连接CD，OC，由题意得CDABADCAD，所以CDAB，CDAC，易证AOC为等边三角形，所以ACAB，所以，所以baab.题型 共线向量定理的应用角度1证明向量共线或三点共线1已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是()A点P在线段AB上 B点P在线段BC上C点P在线段AC上 D点P在ABC外部答案C解析因为，所以2，所以A，P，C三点共线，
10、且P是线段AC的三等分点(靠近A)角度2由向量共线求参数的值2(2018贵州适应性测试)已知向量e1与e2不共线，且向量e1me2，ne1e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1答案A解析因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数，使得，所以有e1me2ne1e2，由此可得所以mn1.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线
11、且有公共点时，才能得到三点共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR)(5)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1. 1在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对答案C解析(a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)2，所以ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形2设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值解(1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又与有公共点B，A，B，D三点共线(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三点共线，(R)，即3e1ke2e14e2，解得k12.
