《高考数学新设计大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性课件理新人教A.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学新设计大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3节函数的奇偶性与周期性课件理新人教A.pptx（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3节节 函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数的图象理 解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应 用简单函数的周期性 知 识 梳 理 1 函数的奇偶性 f x f x 奇偶性定义图象特点 偶函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 是奇函数 关于 对称 y轴 f x f x 原点 2 函数的周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的 任何值时 都有 那
2、么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个 函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 的正数 那么 这个最小正数就叫做f x 的 正周期 f x T f x 存在一个最小 最小 微点提醒 1 1 如果一个奇函数f x 在原点处有定义 即f 0 有意义 那么一定有f 0 0 2 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性 3 函数周期性常用结论 对f x 定义域内任一自变量的值x 4 对称性的三个常用结论 1 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 的图象关于直线x a对
3、称 2 若对于R上的任意x都有f 2a x f x 或f x f 2a x 则y f x 的图象关于直 线x a对称 3 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 的图象关于点 b 0 中心对称 基 础 自 测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 函数y x2在x 0 时是偶函数 2 若函数f x 为奇函数 则一定有f 0 0 3 若T是函数的一个周期 则nT n Z n 0 也是函数的周期 4 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 的图象关于点 b 0 中心对称 解析 1 由于偶函数的定义域关于原点对称 故y x2在 0 上不具有奇偶性 1 错 2 由奇函数定义可知
4、 若f x 为奇函数 其在x 0处有意义时才满足f 0 0 2 错 3 由周期函数的定义 3 正确 4 由于y f x b 的图象关于 0 0 对称 根据图象平移变换 知y f x 的图象关 于 b 0 对称 正确 答案 1 2 3 4 2 必修1P35例5改编 下列函数中为偶函数的是 A y x2sin x B y x2cos x C y ln x D y 2 x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f x f x 且定义域关于原点对称 A选项 为奇函数 B选项为 偶函数 C选项定义域为 0 不具有奇偶性 D选项既 不是奇函数 也不是偶函数 答案 B 答案 1 4 2019 衡水模拟 下列函数
5、既是偶函数又在区间 0 上单调递 增的是 解析 对于A y x3为奇函数 不符合题意 对于D y tan x 是偶函数 但在区间 0 上不单调递 增 答案 C 5 2017 全国 卷 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0 时 f x 2x3 x2 则f 2 解析 x 0 时 f x 2x3 x2 且f x 在R上为奇函数 f 2 f 2 2 2 3 2 2 12 答案 12 6 2019 上海崇明二模 设f x 是定义在R上以2为周期的偶函数 当x 0 1 时 f x log2 x 1 则当x 1 2 时 f x 解析 当x 1 2 时 x 2 1 0 2 x 0 1 又f x 在R
6、上是以2为周期的偶函数 f x f x 2 f 2 x log2 2 x 1 log2 3 x 答案 log2 3 x 考点一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性 因此f x f x 且f x f x 函数f x 既是奇函数又是偶函数 函数f x 为奇函数 3 显然函数f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上可知 对于定义域内的任意x 总有f x f x 成立 函数f x 为奇函数 规律方法 判断函数的奇偶性 其中包括两个必备条件 1 定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶
7、性的必要不充分条件 所以首先考虑 定义域 2 判断f x 与f x 是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中 可以转化为判断奇 偶性的等价等量关系式 f x f x 0 奇函数 或f x f x 0 偶函数 是否成立 训练1 1 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函数的是 A f x g x 是偶函数 B f x g x 是奇函数 C f x g x 是奇函数 D f x g x 是偶函数 因为F x F x 且F x F x 所以F x g x f x 既不是奇函数也不是偶函数 答案 1 D 2 A 考点二 函数的周期性及其应用 例2 1 一题多解 2018 全国 卷 已知f x 是定义域为
8、的奇函数 满足f 1 x f 1 x 若f 1 2 则f 1 f 2 f 3 f 50 A 50 B 0 C 2 D 50 2 已知f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数 y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点个数为 解析 1 法一 f x 在R上是奇函数 且f 1 x f 1 x f x 1 f x 1 即f x 2 f x 因此f x 4 f x 则函数f x 是周期为4的函数 由于f 1 x f 1 x f 1 2 故令x 1 得f 0 f 2 0 令x 2 得f 3 f 1 f 1 2 令x 3 得f 4 f 2 f 2 0 故f
9、1 f 2 f 3 f 4 2 0 2 0 0 所以f 1 f 2 f 3 f 50 12 0 f 1 f 2 2 故f 1 f 2 f 3 f 50 12 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 2 12 2 0 2 0 2 0 2 2 因为当0 x 2时 f x x3 x 又f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且f 0 0 则f 6 f 4 f 2 f 0 0 又f 1 0 f 3 f 5 f 1 0 故函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点有7个 答案 1 C 2 7 规律方法 1 根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时 应根 据周期性或奇偶性 由待
10、求区间转化到已知区间 2 若f x a f x a是常数 且a 0 则2a为函数f x 的一个周期 第 1 题法二是利 用周期性构造一个特殊函数 优化了解题过程 2 已知f x 是定义在R上的偶函数 且f x 4 f x 2 若当x 3 0 时 f x 6 x 则f 919 2 f x 4 f x 2 f x 2 4 f x 2 2 即f x 6 f x f 919 f 153 6 1 f 1 又f x 在R上是偶函数 f 1 f 1 6 1 6 即f 919 6 答案 1 A 2 6 考点三 函数性质的综合运用 多维探究 角度1 函数单调性与奇偶性 例3 1 2019 石家庄模拟 设f x
11、是定义在 2b 3 b 上的偶函数 且在 2b 0 上为增函数 则f x 1 f 3 的解集为 A 3 3 B 2 4 C 1 5 D 0 6 解析 因为f x 是定义在 2b 3 b 上的偶函数 所以有 2b 3 b 0 解得b 3 由函数f x 在 6 0 上为增函数 得f x 在 0 6 上为减函数 故f x 1 f 3 f x 1 f 3 x 1 3 故 2 x 4 答案 B 规律方法 1 函数单调性与奇偶性结合 注意函数单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图象的对称性 2 本题充分利用偶函数的性质f x f x 避免了不必要的讨论 简化了解题过程 角度2 函数的奇偶性与周期性 A 2
12、B 18 C 18 D 2 解析 1 f x 满足f x 5 f x f x 是周期为5的函数 f 2 018 f 403 5 3 f 3 f 5 2 f 2 f 2 f 2 23 3 2 2 故f 2 018 2 2 由y f x 和y f x 2 是偶函数知f x f x 且f x 2 f x 2 则f x 2 f x 2 f x 4 f x 则y f x 的周期为4 答案 1 D 2 B 规律方法 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进 行交换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变
13、量所在的区间 然 后利用奇偶性和单调性求解 训练3 1 2019 重庆九校模拟 已知奇函数f x 的图象关于直线x 3对称 当x 0 3 时 f x x 则f 16 解析 1 根据题意 函数f x 的图象关于直线x 3对称 则有f x f 6 x 又由函数为奇函数 则f x f x 则有f x f 6 x f x 12 则f x 的最小正周期是12 故f 16 f 4 f 4 f 2 2 2 2 由于函数f x 是定义在R上的偶函数 得f ln t f 1 又函数f x 在区间 0 上是单调递 增函数 思维升华 1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对 称
14、是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 利用函数奇偶性可以解决以下问题 1 求函数值 2 求解析式 3 求函数解析式中参数的值 4 画函数图象 确定函数 单调性 3 在解决具体问题时 要注意结论 若T是函数的周期 则kT k Z且k 0 也是函数的 周期 的应用 易错防范 1 f 0 0既不是f x 是奇函数的充分条件 也不是必要条件 2 函数f x 满足的关系f a x f b x 表明的是函数图象的对称性 函数f x 满足的关系 f a x f b x a b 表明的是函数的周期性 在使用这两个关系时不要混淆 数学运算 活用函数性质中 三个二级 结论 数学运算是解决数学问题的基本手段 通过运算
15、能够促进学生数学思维的发展 通 过常见的 二维结论 解决数学问题 可优化数学运算的过程 使学生逐步形成 规范化 程序化的思维品质 养成一丝不苟 严谨求实的科学精神 类型1 奇函数的最值性质 已知函数f x 是定义在区间D上的奇函数 则对任意的x D 都有f x f x 0 特别地 若奇函数f x 在D上有最值 则f x max f x min 0 且若0 D 则f 0 0 解析 显然函数f x 的定义域为R g x 为奇函数 由奇函数图象的对称性知g x max g x min 0 M m g x 1 max g x 1 min 2 g x max g x min 2 答案 2 类型2 抽象函
16、数的周期性 1 如果f x a f x a 0 那么f x 是周期函数 其中一个周期T 2a 3 如果f x a f x c a 0 那么f x 是周期函数 其中的一个周期T 2a 例2 已知函数f x 为定义在R上的奇函数 当x 0时 有f x 3 f x 且当 x 0 3 时 f x x 1 则f 2 017 f 2 018 A 3 B 2 C 1 D 0 解析 因为函数f x 为定义在R上的奇函数 所以f 2 017 f 2 017 因为当x 0时 有f x 3 f x 所以f x 6 f x 3 f x 即当x 0时 自变量的值每增加6 对应函数值重复出现一次 又当x 0 3 时 f x x 1 f 2 017 f 336 6 1 f 1 2 f 2 018 f 336 6 2 f 2 3 故f 2 017 f 2 018 f 2 017 3 1 答案 C 类型3 抽象函数的对称性 已知函数f x 是定义在R上的函数 2 若函数y f x 满足f a x f a x 0 即f x f 2a x 则f x 的图象关于点 a 0 对称 例3 2018 日照调研 函数y f x 对任
