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1、数 列 第五章 第一节 数列的概念与简单表示法 1 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图象 通项公 式 2 了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 02课堂互动 考点突破 栏 目 导 航 01课前回扣 双基落实 01课前回扣 双基落实 1 数列的定义 按照 排列的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 一定顺序 项 2 数列的分类 分类原则类型满足条件 按项数 分类 有穷数列项数 无穷数列项数 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列an 1 an 其中 n N 递减数列an 1 an 常数列an 1 an 摆动数列从第2项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列 有
2、限 无限 3 数列的表示法 数列有三种表示法 它们分别是 和 4 数列的通项公式 如果数列 an 的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示 那么 这个公式叫做这个数列的通项公式 列表法 图象法 解析法 序号n 3 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函 数 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值 就是数列 D 4 2019 广东湛江月考 已知数列 an 的通项公式为an n2 8n 15 则 A 不是数列 an 中的项 B 只是数列 an 中的第2项 C 只是数列 an 中的第6项 D 是数列 an 中的第2项或第6项 解析 令an 3 即
3、n2 8n 15 3 解得n 2或n 6 故3是数列 an 中的第2 项或第6项 D 5 2019 山东菏泽模拟 已知数列 an 满足a1 1 an an 1 2n n 2 则a7 A 53B 54 C 55D 109 解析 由题意知 a2 a1 2 2 a3 a2 2 3 a7 a6 2 7 a7 a1 2 2 3 4 7 55 C 02课堂互动 考点突破 自主 完成 考点一 由数列的前几项求通项公式 C 解析 注意到分子0 2 4 6都是偶数 对照选项排除即可 C 1 根据所给数列的前几项求其通项时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特 征 分式中分子 分母的各自特征 相邻项的联系特征 拆项后
4、的各部分特征 符 号特征 应多进行对比 分析 从整体到局部多角度观察 归纳 联想 2 对于正负符号变化 可用 1 n或 1 n 1来调整 an与Sn关系的应用是高考的常考内容 且多出现在选择题或填空题中 有时 也出现在解答题的已知条件中 难度较小 多维 探究 考点二 由Sn与an的关系求an或Sn 解析 当n 1时 a1 S1 3 12 2 1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 a1 1也适合上式 an 6n 5 an 6n 5 2 2017 全国卷 改编 设数列 an 满足a1 3a2 2n 1 an 2n 则an 变式探究 若把本例
5、1 中 Sn 3n2 2n 改为 Sn 3n2 2n 1 其他条 件不变 数列 an 的通项公式是 已知Sn求an的3步骤 1 先利用a1 S1求出a1 2 用n 1替换Sn中的n得到一个新的关系 利用an Sn Sn 1 n 2 便可求出当 n 2时an的表达式 3 注意检验n 1时的表达式是否可以与n 2的表达式合并 Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求 将问题向不同的两个方向转化 1 利用an Sn Sn 1 n 2 转化为只含Sn Sn 1的关系式 再求解 2 利用Sn Sn 1 an n 2 转化为只含an an 1的关系式 再求解 训练1 已知数列 an 的前n项和
6、为Sn 若Sn 2an 4 n N 则an A 2n 1 B 2n C 2n 1 D 2n 2 解析 由Sn 2an 4可得Sn 1 2an 1 4 n 2 两式相减可得an 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 又a1 2a1 4 a1 4 数列 an 是以4为首项 2为公 比的等比数列 则an 4 2n 1 2n 1 A 训练2 已知数列 an 的前n项和Sn 2n 3 则数列 an 的通项公式是 师生 共研 考点三 由数列的递推公式求通项公式 变式探究1 本例变为 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 2 则数列 an 的通项公式为 an 2 3n 1 1 变式探究2 本例变为 已知数列 an 满足a1 1 a2 4 an 2 2an 3an 1 n N 则数列 a n 的通项公式an 解析 由an 2 2an 3an 1 0 得an 2 an 1 2 an 1 an 数列 an 1 an 是以a2 a1 3为首项 2为公比的等比数列 an 1 an 3 2n 1 n 2时 an an 1 3 2n 2 a3 a2 3 2 a2 a1 3 将以上各式累加得an a1 3 2n 2 3 2 3 3 2n 1 1 an 3 2n 1 2 当n 1时 也满足 3 2n 1 2 由数列递推式求通项公式的常用方法 C
