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1、第7章 立体几何 第5讲A组基础关1已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACmCABDAC答案D解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有D不一定成立，故选D.2如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一
2、条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；已证平面HAG平面AEF，若证HG平面AEF，只需证HGAG，已证AHHG，故HGAG不成立，所以HG与平面AEF不垂直，D不正确故选B.3. 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析选项A，B，C显然错误PA平面ABC，PDA是直线PD与平面ABC所成的角ABCDE
3、F是正六边形，AD2AB.tanPDA1，直线PD与平面ABC所成的角为45.故选D.4(2017江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上故选A.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()AB.CD.答案B解析如图，延长BE与B1C1的延长线交于点F，连接FD1，因为E为C1
4、C的中点，四边形BCC1B1是正方形，所以C1FB1C1BC，所以C1D1FC1D1B145，所以FD1B1D1，易证FD1平面BB1D1D.所以BFD1是直线BE与平面B1BD所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则D1FB1D1a.BFa，所以sinBFD1.6如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为()A.B1C.D2答案A解析设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可以得A1B1，矩形ABB1A1中，t
5、anFDB1，tanA1AB1.又FDB1A1AB1，所以.故B1F.故选A.7已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E，F，G分别是线段DC，D1D和D1B上的动点，给出下列结论：对于任意给定的点E，存在点F，使得AFA1E；对于任意给定的点F，存在点E，使得AFA1E；对于任意给定的点G，存在点F，使得AFB1G；对于任意给定的点F，存在点G，使得AFB1G.其中正确结论的个数是()A0B1C2D3答案C解析因为DE平面A1D，根据三垂线定理，对于任意给定的点E，A1E在平面A1D的射影为A1D，所以存在点F，使得AFA1D，所以AFA1E，正确；如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF
6、A1E；那么AFA1D，又AD1A1D，得到过A有两条直线与A1D垂直，故错误；只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影时，AFB1G，所以当G位于D1B的上半部分时，在D1D上不存在F点，使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影，错误；对任意给定的点F，存在平面BCC1B1上的线段B1G和AF垂直，且B1G为B1G的投影，所以正确，所以C正确8如图，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.答案a解析作BC中点E，连接AE，DE，则在RtABC中，ABACa，由勾股定理得BC2AEa，且有AEBC，又平面ABC平面BDC，平面ABC平面BDCBC且直线AE在平面A
7、BC内，由面面垂直的性质定理得AE平面BCD，DE平面BCD内，AEDE，又在RtBCD中，点E是BC的中点，DEa，在RtADE中，AEa，由勾股定理得ADa.9(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案解析对于，由mn，m可得n或n在内，当n时，与可能相交，也可能平行，故错误；对于，过直线n作平面与平面交于直线c，由n可知nc，m，mc，mn，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和
8、等角定理可知其正确，故正确的有.10(2018兰州实战考试)，是两平面，AB，CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF.现有下列条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的序号是_答案解析由题意得，ABCD，A，B，C，D四点共面中，AC，EF，ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正确；不能得到BDEF，故错误；中，由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知平面ABCD，又AB，AB平面ABCD，平面ABCD.平面ABCD，平面ABCD，EF，
9、EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正确；中，由知，若BDEF，则EF平面ABCD，则EFAC，故错误，故填.B组能力关1(2018静海月考)如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A一条线段B一条直线C一个圆D一个圆，但要去掉两个点答案D解析平面PAC平面PBC，而平面PAC平面PBCPC.又AC平面PAC，且ACPC，AC平面PBC，而BC平面PBC，ACBC，点C在以AB为直径的圆上，点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点故选D.2如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中
10、点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是()A点P到平面QEF的距离B三棱锥PQEF的体积C直线PQ与平面PEF所成的角D二面角PEFQ的大小答案C解析A中，因为平面QEF也就是平面A1B1CD，显然点P到平面A1B1CD的距离是定值，所以点P到平面QEF的距离为定值；B中，因为QEF的面积是定值(EF为定长，点Q到EF的距离就是点Q到CD的距离，也是定长，即底和高都是定值)，再根据A的结论，即点P到平面QEF的距离也是定值，所以三棱锥PQEF的高也是定值，于是其体积固定，所以三棱锥PQEF的体积是定值；C中，因为Q是动点，PQ的长不固
11、定，而Q到平面PEF的距离为定值，所以PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，因为A1B1CD，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，所以二面角PEFQ的大小即为二面角PCDA1的大小，为定值3(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.BCD答案A解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都
12、是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为，所以其面积为S62，故选A.4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，AA14，过A1作底面ABC的垂线，垂足为BC的中点，D为B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接AE，DE，A1E.由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.所以AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEBB1，且DEBB1，从而DEAA1，且DEA
13、A1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)如图，作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，AEA1EE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F.又因为DEBCE，所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90，得A1F.所以sinA1BF.C组素养关1如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解(1)证明：在图1中，连接EC(图略)，因为ABBCADa，BAD90，ADBC，E是AD的中点，所以四边形ABCE为正方形，所以BEAC，即在
