《高考数学一轮复习第6章不等式第3讲基本不等式讲义理含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第6章不等式第3讲基本不等式讲义理含解析.doc（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲基本不等式考纲解读1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题(重点)2.掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2020年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.1基本不等式设a0，b0，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则
2、：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误3几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)，2(a2b2)(ab)2(a，bR)(5)ab(a，bR)(6)(a0，b0)1概念辨析(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数f(x)sinx的最小值为2.()(4)x0且y
3、0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()A最大值0 B最小值0C最大值4 D最小值4答案C解析因为x0，所以x22，当且仅当x即x1时等号成立所以x2.所以f(x)x24.即f(x)有最大值4.(2)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C解析由基本不等式18xy29xy81，当且仅当xy时，xy有最大值81，故选C.(3)已知lg alg b2，则lg (ab)的最小值为()A1lg 2 B2C1lg 2 D2答案A解析由lg alg b2，可知a0，b0，则lg (ab)2，即ab
4、100.所以ab2220，当且仅当ab10时取等号，所以lg (ab)lg 201lg 2.故lg (ab)的最小值为1lg 2.(4)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大答案15解析设矩形的长为x m，宽为y m则x2y30，所以Sxyx(2y)2，当且仅当x2y，即x15，y时取等号题型 利用基本不等式求最值角度1直接应用1(2019沈阳模拟)已知ab0，求a2的最小值解ab0，ab0.a2a2a224，当且仅当bab，a22，ab0，即a，b时取等号a2的最小值是4.角度2拼凑法求最值2求f(x)4x2的最大值解因为
5、x，所以54x0，则f(x)4x23231，当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.角度3构造不等式求最值(多维探究)3已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值为()A3 B4 C. D.答案B解析因为x0，y0，且x2y2xy8，所以x2y82xy82.整理得(x2y)24(x2y)320，解得x2y4或x2y8.又x2y0，所以x2y4.故x2y的最小值为4.条件探究把举例说明3的条件“x2y2xy8”改为“4xyx2y4”，其他条件不变，求xy的最小值解因为x0，y0且4xyx2y4，所以4xy4x2y2.整理可得2xy20.解得2即xy2，所以xy的最小
6、值为2.角度4常数代换法求最值(多维探究)4若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5答案C解析解法一：因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1.所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时取“”，所以ab的最小值为4.解法二：因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1，所以b0，所以a1，a10，所以abaaa12224.当且仅当a1即a2时等号成立，所以ab的最小值为4.条件探究将举例说明4条件变为“x0，y0且1”，求xy的最小值解x0，y0，y9且x.xyyyy1(y9)10.y9，y90.y91021016.当且仅当y9，即y12时取等
7、号又1，则x4.当x4，y12时，xy取最小值16.1拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件2通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解如举例说明4解法二3常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和
8、或积的形式如举例说明4解法一(4)利用基本不等式求解最值 1若正数x，y满足x23xy10，则xy的最小值是()A. B. C. D.答案B解析对于x23xy10可得y，xy2(当且仅当x时等号成立)故选B.2(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_答案解析因为a3b60，所以a3b6,2a2a2a23b222，所以2a的最小值为.题型 基本不等式的综合应用角度1基本不等式中的恒成立问题1当x时，2sin2xasin2x10恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，解析当x时，sin2x0，原不等式可化为asin2x2sin2x1，a.设f(x)，则f(x)tanx.因为
9、x，所以tanx0.所以f(x)tanx2，当且仅当tanx，即tanx时等号成立，所以f(x)min，所以a.角度2基本不等式与其他知识的综合问题2(2018西安模拟)若ABC的内角满足sinAsinB2sinC，则cosC的最小值是()A. B.C. D.答案A解析由正弦定理，得ab2c.所以cosC.当且仅当3a22b2，即ab时，等号成立所以cosC的最小值为.基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明1.(3)
10、与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等如举例说明2. 1已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A(，1) B(，21)C(1,21) D(21,21)答案B解析由32x(k1)3x20恒成立，得k13x.3x2，k12，即k21.2设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是()A. B.C2 D2答案A解析ana1(n1)dn，Sn，当且仅当n4时取等号的最小值是.故选A.题型 基本不等式在实际问题中的应用某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，
11、该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，13k，k2，x3.由题意可知每件产品的销售价格为1.5(元)，2017年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)当
12、m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1，即m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元利用基本不等式求解实际问题的求解策略(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立 (2018成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元答案220解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2(k20)，工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，k15，k2
