《高考数学大一轮复习第七章立体几何与空间向量第4节直线、平面垂直的判定及性质课件理新人教A版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习第七章立体几何与空间向量第4节直线、平面垂直的判定及性质课件理新人教A版.ppt（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4节直线 平面垂直的判定及性质 考试要求1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 知识梳理 1 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面 内的 直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 判定定理与性质定理 两条相交直线 l a l b a b 平行 a b 2 直线和平面所成的角 1 定义 一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 则它们所成的角是 一条直线和平面平行或在平面内 则它们所成的角是0 的角 2
2、 范围 射影 锐角 直角 3 二面角 1 定义 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点 以该点为垂足 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 3 二面角的范围 0 4 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 两个半平面 垂直于棱 直二面角 2 判定定理与性质定理 垂线 l l 交线 a l a l 微点提醒 1 两个重要结论 1 若两平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 若一条直线垂直于一个平面 则它垂直于这个平面内的任何一条直线
3、证明线线垂直的一个重要方法 2 使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理 不要误解为 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线 就垂直于这个平面 基础自测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 垂直于同一个平面的两平面平行 3 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 4 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 解析 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则有l 或l与 斜交或l 或l 故 1 错误 2 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交 故 2 错误 3 若两个平面垂直 则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面
4、也可能与另一平面平行 也可能与另一平面相交 也可能在另一平面内 故 3 错误 4 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线 则 故 4 错误 答案 1 2 3 4 2 必修2P66练习改编 已知直线a b和平面 且a b a 则b与 的位置关系为 A b B b C b 或b D b与 相交答案C 3 必修2P67练习2改编 已知P为 ABC所在平面外一点 且PA PB PC两两垂直 有下列结论 PA BC PB AC PC AB AB BC 其中正确的是 A B C D 解析如图 因为PA PB PA PC PB PC P 且PB 平面PBC PC 平面PBC 所以PA 平面PBC 又B
5、C 平面PBC 所以PA BC 同理可得PB AC PC AB 故 正确 答案A 4 2019 上海静安区质检 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 下面给出的条件中一定能推出m 的是 A 且m B m n且n C m n且n D m n且 解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理 可知C正确 答案C 5 2017 全国 卷 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为棱CD的中点 则 A A1E DC1B A1E BDC A1E BC1D A1E AC 解析如图 由题设知 A1B1 平面BCC1B1且BC1 平面BCC1B1 从而A1B1 BC1 又B1C BC1 且A1B
6、1 B1C B1 所以BC1 平面A1B1CD 又A1E 平面A1B1CD 所以A1E BC1 答案C 6 2018 安阳二模 已知a b表示两条不同的直线 表示两个不同的平面 下列说法错误的是 A 若a b 则a bB 若a b a b 则 C 若a a b 则b D 若 a a b 则b 或b 解析对于A 若a 则a 又b 故a b 故A正确 对于B 若a a b 则b 或b 存在直线m 使得m b 又b m 故B正确 对于C 若a a b 则b 或b 又 所以b 或b 故C错误 对于D 若 a a b 则b 或b 故D正确 答案C 考点一线面垂直的判定与性质 1 证明 PO 平面ABC
7、2 若点M在棱BC上 且MC 2MB 求点C到平面POM的距离 1 证明因为AP CP AC 4 O为AC的中点 由OP2 OB2 PB2知 OP OB 由OP OB OP AC且OB AC O 知PO 平面ABC 2 解作CH OM 垂足为H 又由 1 可得OP CH 所以CH 平面POM 故CH的长为点C到平面POM的距离 规律方法1 证明直线和平面垂直的常用方法有 1 判定定理 2 垂直于平面的传递性 a b a b 3 面面平行的性质 a a 4 面面垂直的性质 a l a l l 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理
8、转化是证明线面垂直的基本思想 训练1 2019 青岛调研 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 已知AB 侧面BB1C1C AB BC 1 BB1 2 BCC1 60 1 证明 AB 平面BB1C1C BC1 平面BB1C1C AB BC1 在 CBC1中 BC 1 CC1 BB1 2 BCC1 60 又AB BC 平面ABC BC AB B BC1 平面ABC 2 解 AB 平面BB1C1C CE 1 考点二面面垂直的判定与性质 例2 如图 在四棱锥P ABCD中 AB CD AB AD CD 2AB 平面PAD 底面ABCD PA AD E和F分别是CD和PC的中点 求证 1 PA 底面AB
9、CD 2 BE 平面PAD 3 平面BEF 平面PCD 证明 1 平面PAD 底面ABCD 且PA垂直于这两个平面的交线AD PA 平面PAD PA 底面ABCD 2 AB CD CD 2AB E为CD的中点 AB DE 且AB DE 四边形ABED为平行四边形 BE AD 又 BE 平面PAD AD 平面PAD BE 平面PAD 3 AB AD 而且ABED为平行四边形 BE CD AD CD 由 1 知PA 底面ABCD CD 平面ABCD PA CD 且PA AD A PA AD 平面PAD CD 平面PAD 又PD 平面PAD CD PD E和F分别是CD和PC的中点 PD EF CD
10、 EF 又BE CD且EF BE E CD 平面BEF 又CD 平面PCD 平面BEF 平面PCD 规律方法1 证明平面和平面垂直的方法 1 面面垂直的定义 2 面面垂直的判定定理 2 已知两平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 1 证明设BC a 则CD a AB 2a 由题意知 BCD是等腰直角三角形 且 BCD 90 所以 ABD ABC CBD 45 因为AD2 BD2 4a2 AB2 所以BD AD 由于平面SAD 底面ABCD 平面SAD 平面ABCD AD BD 平面ABCD 所以BD 平面SAD 又BD 平面S
11、BD 所以平面SBD 平面SAD 作SH AD 交AD的延长线于点H 由 1 知BD 平面SAD 因为SH 平面SAD 所以BD SH 又AD BD D 所以SH 平面ABCD 所以SH为三棱锥S BCD的高 由BD 平面SAD SD 平面SAD 可得BD SD 考点三平行与垂直的综合问题多维探究角度1多面体中平行与垂直关系的证明 例3 1 2018 北京卷 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 平面PAD 平面ABCD PA PD PA PD E F分别为AD PB的中点 1 求证 PE BC 2 求证 平面PAB 平面PCD 3 求证 EF 平面PCD 证明 1 因为PA PD
12、 E为AD的中点 所以PE AD 因为底面ABCD为矩形 所以BC AD 所以PE BC 2 因为底面ABCD为矩形 所以AB AD 又因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以AB 平面PAD 所以AB PD 又因为PA PD 且PA AB A 所以PD 平面PAB 又PD 平面PCD 所以平面PAB 平面PCD 3 如图 取PC中点G 连接FG DG 因为F G分别为PB PC的中点 因为ABCD为矩形 且E为AD的中点 所以DE FG DE FG 所以四边形DEFG为平行四边形 所以EF DG 又因为EF 平面PCD DG 平面PCD 所以EF 平面PCD 规律方
13、法1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 垂直与平行的结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 角度2平行与垂直关系中的探索性问题 例3 2 如图 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC PA 1 AB 1 AC 2 BAC 60 解 1 由题知AB 1 AC 2 BAC 60 由PA 平面ABC 可知PA是三棱锥P ABC的高 2 在平面ABC内 过点B作BN AC 垂足为N 在平面PAC内 过点N作MN PA交PC于点M 连接BM 由PA 平面ABC知PA AC 所以MN AC 由于BN MN N 故AC 平面MBN 又BM 平面MBN 所
14、以AC BM 规律方法1 求条件探索性问题的主要途径 1 先猜后证 即先观察与尝试给出条件再证明 2 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件 再证明充分性 2 涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明 探索点存在问题 点多为中点或三等分点中某一个 也可以根据相似知识建点 角度3空间位置关系与几何体的度量计算 例3 3 如图 在四棱锥P ABCD中 AD 平面PDC AD BC PD PB AD 1 BC 3 CD 4 PD 2 1 求异面直线AP与BC所成角的余弦值 2 求证 PD 平面PBC 3 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 1 解如图 由已知AD BC 故
15、 DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角 因为AD 平面PDC PD 平面PDC 所以AD PD 2 证明由 1 知AD PD 又因为BC AD 所以PD BC 又PD PB BC PB B 所以PD 平面PBC 3 解过点D作DF AB 交BC于点F 连接PF 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角 因PD 平面PBC 故PF为DF在平面PBC上的射影 所以 DFP为直线DF和平面PBC所成的角 由于AD BC DF AB 故BF AD 1 由已知 得CF BC BF 2 又AD DC 故BC DC 规律方法1 本题证明的关键是垂直与平行的转化 如由AD BC AD P
16、D 得PD BC 进而利用线面垂直的判定定理证明PD 平面PBC 2 利用综合法求空间线线角 线面角 二面角一定注意 作角 证明 计算 是完整统一过程 缺一不可 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 要把线面角转化到一个三角形中求解 2 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 注意利用等腰 等边三角形的性质 训练3 如图 三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 点E是CD边的中点 点F G分别在线段AB BC上 且AF 2FB CG 2GB 1 证明 PE FG 2 求二面角P AD C的正切值 3 求直线PA与直线FG所成角的余弦值 1 证明因为PD PC且点E为CD的中点 所以PE DC 又平面PDC 平面ABCD 且平面PDC 平面ABCD CD PE 平面PDC 所以PE 平面ABCD 又FG 平面ABCD 所以PE FG 2 解由 1 知PE 平面ABCD PE AD 又AD CD PE CD E AD 平面PDC AD PD PDC为二面角P AD C的平面角 在Rt
