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1、考纲解读1.理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式(重点)2.掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容. 预测2020年将会考查：绝对值不等式的解法；绝对值性质的应用及最值；根据不等式恒成立求参数的取值范围. 以解答题的形式呈现，属中档题型.1绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|.当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立，即b落在a，c之间(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几
2、个不等式|a1a2an|a1|a2|an|.|a|b|ab|a|b|.2绝对值不等式的解法(1)形如|axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解(2)绝对值不等式|x|a与|x|0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c0)，|axb|caxbc或axbc(c0)1概念辨析(1)不等式|x1|x2|c的解集为R，则c0.()(3)|axb|c(c0)的解集，等价于caxbc.()(4)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)设a，b为满足ab|ab| B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab
3、|a|b|答案B解析ab|ab|.(2)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.答案2解析由|kx4|22kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.(3)函数y|x3|x3|的最小值为_答案6解析因为|x3|x3|(x3)(x3)|6，当3x3时，|x3|x3|6，所以函数y|x3|x3|的最小值为6.(4)不等式|x1|x5|2的解集是_答案(，4)解析|x1|x5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差而数轴上满足|x1|x5|2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x1|x5|2；(2)求函数yf(x)的最小值解(1)解法一：令2x10，x40分别得x，x4.原不等式可化为：或或原
4、不等式的解集为.解法二：f(x)|2x1|x4|画出f(x)的图象，如图所示求得y2与f(x)图象的交点为(7,2)，.由图象知f(x)2的解集为.(2)由(1)的解法二知，f(x)min.条件探究把举例说明中函数改为“f(x)|x1|2x3|”，解不等式|f(x)|1.解f(x)yf(x)的图象如图所示由f(x)的表达式及图象，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5，故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为x或1x5.解|xa|xb|c或|xa|xb|c的一般步骤(1)零点分段法令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排序并以这些根为
5、端点把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集(2)利用|xa|xb|的几何意义数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解见举例说明提醒：易出现解集不全的错误对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏 1求不等式|x1|x2|5的解集解当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1
6、x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x22若关于x的不等式|ax2|3的解集为x，求a的值解|ax2|3，1ax0时，x，且无解；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x5|x2|的解集；(2)若g(x)f(xm)f(xm)的最小值为4，求实数m的值解(1)f(x)5|x2|可化为|2x3|x2|5，当x时，原不等式化为(2x3)(x2)5，解得x2，x2；当2x5，解得x0，2x5，解得x5|x2|的解集为(，0)(2，)(2)f(x)|2x3|，g(x)f(xm)f(xm)|2x2m3|2x2m3|(2x2m3)(2x2m3)|4m|，依题意有4|m|4，解得m1.角度2用
7、绝对值不等式的性质证明不等式(多维探究)2设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.即|2xy4|a.结论探究举例说明条件不变，求证：|x2y1|a2.证明|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y1)|x1|2(y2)2|x1|2|y2|222a2.1证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明2用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|ab|a|b|(a，
8、bR)和|ab|ac|cb|(a，bR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值 (2018江西南昌模拟)已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)若不等式f(x)2|x1|有解，求实数a的取值范围；(2)当a2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值解(1)由题意f(x)2|x1|，即为|x1|1.而由绝对值的几何意义知|x1|，由不等式f(x)2|x1|有解，1，即0a4.实数a的取值范围是0,4(2)由2xa0得x，由x10得x1，由a2知1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(
9、x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|0，|ax1|1的解集为0x，所以1，故01有解，求a的取值范围解当x(1,0)时，f(x)1有解|xa|2x有解2xxa2x有解3xa3，x1，3a1，即实数a的取值范围是(3,1)两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.(2)第二招是求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三
10、种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；利用零点分区间法 已知f(x)|xa|，aR.(1)当a1时，求不等式f(x)|2x5|6的解集；(2)若函数g(x)f(x)|x3|的值域为A，且1,2A，求实数a的取值范围解(1)当a1时，不等式为|x1|2x5|6.当x1时，不等式可化为(x1)(2x5)6，解得x0，所以x0；当1x时，不等式可化为(x1)(2x5)6，解得x2，所以x；当x时，不等式可化为(x1)(2x5)6，解得x4，所以x4.综上所述，原不等式的解集为x|x0或x4(2)因为|g(x)|xa|x3|xa(x3)|a3|，所以g(x)|a3|，|a3|，所以函数g(x)的值域A|a3|，|a3|，因为1,2A，所以解得a1或a5.所以实数a的取值范围是(，15，)
