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1、专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为()A Bp C2p D无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,这时x,yp,|AB|min2p故选C2已知F是双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|PA|的最小值为()A4 B6 C8 D9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线定义得|PF|PF|2a4,故|PF|PA|2a|PF|PA|4|AF|9,当且仅当A,P,F三点共线时等号成立故选D3已知M(x0,y0)为抛物线C
2、:x28y上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2,) D2,)答案C解析由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4,且|FM|4,根据抛物线的定义知|FM|y02,所以y024,得y02,故y0的取值范围是(2,)4过椭圆1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PQF周长的最小值是()A14 B16 C18 D20答案C解析如图,设F为椭圆的左焦点,右焦点为F2,根据椭圆的对称性可知|FQ|PF2|,|OP|OQ|,所以PQF的周长为|PF|FQ|PQ|PF|PF2|2|PO|2a2|
3、PO|102|PO|,易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长,即点P,Q为椭圆的上下顶点时,PQF的周长取得最小值102418故选C5(2018豫南九校联考)已知两定点A(1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:yx3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为()A B C D答案A解析点A关于直线l:yx3的对称点A(3,2),连接AB与直线l相交,当点P在交点处时,2a|PA|PB|PA|PB|AB|2,此时a取得最小值,又c1,所以椭圆C的离心率的最大值为,故选A6(2019厦门一中开学考试)已知ABC三个顶点A,B,C都在曲线1上,且20(其中O为坐标原
4、点),M,N分别为AB,AC的中点,若直线OM,ON的斜率存在且分别为k1,k2,则|k1|k2|的取值范围为()A, B0,)C0, D,答案D解析由于A,B都在曲线1上,则有1,1,两式相减并整理可得,由20知,2,则B,C关于坐标原点对称,而M,N分别为AB,AC的中点,则k1kAC,k2kAB,则|k1|k2|kAC|kAB|2222,当且仅当|kAB|kAC|时,等号成立故选D二、填空题7(2018湖北黄冈中学二模)设椭圆y21上任意一点A到两条直线x2y0的距离分别为d1,d2,则d1d2的最大值为_答案解析设点A的坐标为(2cos,sin),则d1d2,所以d1d2的最大值为8(
5、2018河南六市联考一)已知P是双曲线C:y21右支上一点,直线l是双曲线的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线的左焦点,则|PF1|PQ|的最小值是_答案12解析设双曲线的右焦点为F2(,0),不妨设渐近线l:xy0,则点F2(,0)到渐近线l的距离为1,由于点P在双曲线右支上,则|PF1|PF2|2a2,|PF1|2|PF2|,|PF1|PQ|2|PF2|PQ|21,当且仅当点Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时取等号,故|PF1|PQ|的最小值是129(2018厦门质检一)过抛物线E:y24x焦点的直线l与E交于A,B两点,E在点A,B处的切线分别与y轴交于C,D两点,则4
6、|CD|AB|的最大值是_答案8解析设A(x1,y1),B(x2,y2),切线AC的方程为xt(yy1)x1t(yy1),代入抛物线的方程,消去x,得y24ty4ty1y0由16t24(4ty1y)0,得t,所以直线AC的方程为x(yy1),其中令x0,得yC,同理可求得yD,所以|CD|y1y2|由题意,知抛物线的焦点为F(1,0),则设直线AB的方程为xmy1,代入抛物线的方程,消去x,得y24my40,所以y1y24m,y1y24,所以4|CD|AB|2|y1y2|y1y2|284(1m2)4()28,所以当时,4|CD|AB|取得最大值为8三、解答题10(2018济南模拟)在平面直角坐
7、标系xOy中,抛物线C1:x24y,直线l与抛物线C1交于A,B两点(1)若直线OA,OB的斜率之积为,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y4x2(2x0,x1x24k,x1x24m,kOAkOB,由已知kOAkOB,得m1,直线l的方程为ykx1,直线l过定点(0,1)(2)设M(x0,y0),则由(1)知x02k,y0kx0m2k2m,将M(x0,y0)代入C2:y4x2(2x2)得2k2m4(2k)2,m43k2,2x02,22k2,k0,kb0)的左、右顶点分别为M,N,点P是椭圆上异于点M,N的任意一点,记直线PM,PN的斜率分别为kPM,kPN,满足kPMkP
8、N(1)求椭圆C的离心率;(2)设椭圆C的左焦点为F(c,0),过点F的直线AB交椭圆于A,B两点,AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点记GFD的面积为S1,OED的面积为S2,求的取值范围解(1)设P(x0,y0),则1,即,因为kPMkPN,所以,又a2b2c2,则有a24c2,a2c,因此椭圆C的离心率e(2)由(1)可知a2c,bc,则椭圆的方程为1根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零,设直线AB的方程为yk(xc),A(x1,y1),B(x2,y2),D(xD,0),联立消去y并整理得(4k23)x28ck2x4k2c212c20,从而有x
9、1x2,y1y2k(x1x22c),所以G,因为DGAB,所以k1,解得xD由RtFGD与RtEOD相似,所以99,令t,则t9,从而|AA|2依椭圆的定义可知,动点B的轨迹为椭圆,设为1(ab0),其中|BA|BA|2a4,|AA|2c2,a2,c1,b2a2c23,动点B的轨迹方程为1(2)证明:当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x2,此时直线l与椭圆1相切,与题意不符;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y1k(x2)由得(4k23)x2(16k28k)x16k216k80设M(x1,y1),N(x2,y2),则由96(12k)0k0,所以m1又点M(m,0)在椭圆长轴上(不含端点)
10、,所以1m,即实数m的取值范围为(1,)(2)假设以EF为直径的圆恒过定点当EFx轴时,以EF为直径的圆的方程为x2y21;当EFy轴时,以EF为直径的圆的方程为x2y2,则两圆的交点为Q(0,1)下证当直线EF的斜率存在且不为0时,点Q(0,1)在以EF为直径的圆上设直线EF的方程为yk0x(k00),代入y21,整理得(2k1)x2k0x0,设E(x3,y3),F(x4,y4),则x3x4,x3x4,又(x3,y31),(x4,y41),所以x3x4(y31)(y41)x3x4k0x3k0x4(1k)x3x4k0(x3x4)(1k)k00,所以点Q(0,1)在以EF为直径的圆上综上,以EF为直径的圆恒过定点Q(0,1)11