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1、第2节平面向量基本定理及坐标表示 考试要求1 了解平面向量的基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 知识梳理 1 平面向量的基本定理如果e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的任意向量a 一对实数 1 2 使a 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量 叫做把向量正交分解 不共线 有且只有 1e1 2e2 互相垂直 3 平面向量的坐标运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1
2、x2 x1 y2 y1 4 平面向量共线的坐标表示 设a x1 y1 b x2 y2 则a b x1y2 x2y1 0 微点提醒 1 若a x1 y1 b x2 y2 且a b 则x1 x2且y1 y2 2 若a与b不共线 a b 0 则 0 3 向量的坐标与表示向量的有向线段的起点 终点的相对位置有关系 两个相等的向量 无论起点在什么位置 它们的坐标都是相同的 基础自测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 2 同一向量在不同基底下的表示是相同的 3 设a b是平面内的一组基底 若实数 1 1 2 2满足 1a 1b 2a 2b 则 1 2 1 2
3、 解析 1 共线向量不可以作为基底 2 同一向量在不同基底下的表示不相同 答案 1 2 3 4 2 必修4P118A2 6 改编 下列各组向量中 可以作为基底的是 解析两个不共线的非零向量构成一组基底 故选B 答案B 3 必修4P99例8改编 设P是线段P1P2上的一点 若P1 1 3 P2 4 0 且P是线段P1P2的一个三等分点 靠近点P1 则点P的坐标为 A 2 2 B 3 1 C 2 2 或 3 1 D 2 2 或 3 1 设P x y 则 x 1 y 3 1 1 x 2 y 2 则点P 2 2 答案A 答案A 5 2017 山东卷 已知向量a 2 6 b 1 若a b 则 解析 a
4、b 2 6 0 解得 3 答案 3 6 2019 苏州月考 已知 ABCD的顶点A 1 2 B 3 1 C 5 6 则顶点D的坐标为 答案 1 5 考点一平面向量基本定理及其应用 因为E M F三点共线 所以2 3 1 规律方法1 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加 减或数乘运算 2 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是 先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 再通过向量的运算来解决 考点二平面向量的坐标运算 A 1B 2C 3D 4 2 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系 设每个小正方形边长为1 则A 1 1
5、B 6 2 C 5 1 c a b 1 3 1 1 6 2 答案 1 C 2 D 规律方法1 巧借方程思想求坐标 若已知向量两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中注意方程思想的应用 2 向量问题坐标化 向量的坐标运算 使得向量的线性运算都可以用坐标来进行 实现了向量运算的代数化 将数与形结合起来 使几何问题转化为数量运算问题 2 建立如图所示的平面直角坐标系 则D 0 0 不妨设AB 1 则CD AD 2 所以C 2 0 A 0 2 B 1 2 E 0 1 答案 1 4 7 2 B 考点三平面向量共线的坐标表示多维探究角度1利用向量共线求向量或点的坐标 例3 1 一题多解 已知点A 4
6、 0 B 4 4 C 2 6 则AC与OB的交点P的坐标为 所以 x 4 6 y 2 0 解得x y 3 所以点P的坐标为 3 3 答案 3 3 角度2利用向量共线求参数 例3 2 1 2018 全国 卷 已知向量a 1 2 b 2 2 c 1 若c 2a b 则 规律方法1 两平面向量共线的充要条件有两种形式 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 0 2 若a b b 0 则a b 2 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行 也可以由平行求参数 当两向量的坐标均非零时 也可以利用坐标对应成比例来求解 所以 2m 1 2 1 2n 1 得 2m 1 2n 1 答案 1 3 6 2 A 思维升华 1 平面向量基本定理实际上是向量的分解定理 并且是平面向量正交分解的理论依据 也是向量的坐标表示的基础 2 平面向量一组基底是两个不共线向量 平面向量基底可以有无穷多组 3 用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a 1e1 2e2的形式 易错防范 1 注意运用两个向量a b共线坐标表示的充要条件应为x1y2 x2y1 0 2 要区分点的坐标与向量坐标的不同 尽管在形式上它们完全一样 但意义完全不同 向量坐标中既有方向也有大小的信息
