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1、第2课时 直线与椭圆 考点一 中点弦及弦长问题 多维探究 角度1 中点弦问题 解 1 设弦的端点为P x1 y1 Q x2 y2 其中点是M x y 则x2 x1 2x y2 y1 2y 由于点P Q在椭圆上 则有 规律方法 弦及弦中点问题的解决方法 1 根与系数的关系 直线与椭圆方程联立 消元 利用根与系数关系表示中点 2 点差法 利用弦两端点适合椭圆方程 作差构造中点 斜率 角度2 弦长问题 解 1 根据题意 设F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 解得a 2 c 1 则b2 a2 c2 3 2 假设存在斜率为 1的直线l 设为y x m 由 1 知F1 F2的坐标分别为 1 0 1 0
2、 所以以线段F1F2为直径的圆为x2 y2 1 由题意得 8m 2 4 7 4m2 12 336 48m2 48 7 m2 0 解得m20 解 假设存在直线l与双曲线交于A B两点 且点P是线段AB的中点 故直线l的方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 因为 16 24 8 0 方程无解 故不存在一条直线l与双曲线交于A B两点 且点P是线段AB的中点 类型4 求解直线与圆锥曲线的相关问题时 若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确 等量关系 可用 替代法 替代法 的实质是设而不求 例4 2017 全国 卷改编 已知F为抛物线C y2 2x的焦点 过F作两条互相垂直的 直线l1 l2 直线l1与C交于A B两点 直线l2与C交于D E两点 则 AB DE 的最小 值为 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 2t y1y2 1 答案 8
