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1、第7节函数的图象 最新考纲1 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 如图象法 列表法 解析法 表示函数 2 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 解决方程解的个数与不等式解的问题 知识梳理 1 利用描点法作函数的图象 步骤 1 确定函数的定义域 2 化简函数解析式 3 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 对称性等 4 列表 尤其注意特殊点 零点 最大值点 最小值点 与坐标轴的交点等 描点 连线 2 利用图象变换法作函数的图象 1 平移变换 f x k 2 对称变换 f x f x f x logax 3 伸缩变换 f x f x 微点提醒 记住几个重要结论 1 函数y f x 与
2、y f 2a x 的图象关于直线x a对称 2 函数y f x 与y 2b f 2a x 的图象关于点 a b 中心对称 3 若函数y f x 对定义域内任意自变量x满足 f a x f a x 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 基础自测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 函数y f 1 x 的图象 可由y f x 的图象向左平移1个单位得到 2 函数y f x 的图象关于y轴对称即函数y f x 与y f x 的图象关于y轴对称 3 当x 0 时 函数y f x 的图象与y f x 的图象相同 4 若函数y f x 满足f 1 x f 1 x 则函数f x 的图象关于直线x
3、 1对称 解析 1 y f x 的图象向左平移1个单位得到y f 1 x 故 1 错 2 两种说法有本质不同 前者为函数的图象自身关于y轴对称 后者是两个函数的图象关于y轴对称 故 2 错 3 令f x x 当x 0 时 y f x x y f x x 两函数图象不同 故 3 错 答案 1 2 3 4 解析其图象是由y x2图象中x 0的部分和y x 1图象中x 0的部分组成 答案C 3 必修1P23T2改编 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间后 为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是 解析小明匀速运动时 所得图象为一条线段 且距离学校越来越近 排除A 因
4、交通堵塞停留了一段时间 与学校的距离不变 排除D 后来为了赶时间加快速度行驶 排除B 只有C满足题意 答案C 4 2019 西安月考 函数f x 的图象向右平移1个单位长度 所得图象与曲线y ex关于y轴对称 则f x 的解析式为 A f x ex 1B f x ex 1C f x e x 1D f x e x 1解析依题意 与曲线y ex关于y轴对称的曲线是y e x 于是f x 相当于y e x向左平移1个单位的结果 f x e x 1 e x 1 答案D 5 一题多解 2018 全国 卷 下列函数中 其图象与函数y lnx的图象关于直线x 1对称的是 A y ln 1 x B y ln
5、2 x C y ln 1 x D y ln 2 x 解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为 x y 则其关于直线x 1的对称点的坐标为 2 x y 由对称性知点 2 x y 在函数f x lnx的图象上 所以y ln 2 x 法二由题意知 对称轴上的点 1 0 在函数y lnx的图象上也在所求函数的图象上 代入选项中的函数表达式逐一检验 排除A C D 选B 答案B 答案 2 8 考点一作函数的图象 例1 作出下列函数的图象 2 将函数y log2x的图象向左平移一个单位 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去 即可得到函数y log2 x 1 的图象 如图 规律方法作函数图象的一般方法 1 直接法
6、 当函数解析式 或变形后的解析式 是熟悉的基本函数时 就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出 2 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移 翻折 对称得到 可利用图象变换作出 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 训练1 分别作出下列函数的图象 1 y lgx 2 y sin x 解 1 先作出函数y lgx的图象 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去 即可得函数y lgx 的图象 如图 实线部分 2 当x 0时 y sin x 与y sinx的图象完全相同 又y sin x 为偶函数 图象关于y轴对称 其图象如图 考点二函数图象的辨识 2 2016 全国
7、卷 函数y 2x2 e x 在 2 2 的图象大致为 法二当x 1时 f 1 1 1 sin1 2 sin1 2 排除A C 又当x 时 y 排除B 而D满足 2 f x 2x2 e x x 2 2 是偶函数 又f 2 8 e2 0 1 排除选项A B 当x 0时 f x 2x2 ex f x 4x ex 所以f 0 10 所以函数f x 在 0 2 上有解 故函数f x 在 0 2 上不单调 排除C 故选D 答案 1 D 2 D 规律方法1 抓住函数的性质 定性分析 1 从函数的定义域 判断图象的左右位置 从函数的值域 判断图象的上下位置 2 从函数的单调性 判断图象的变化趋势 3 从周期性
8、 判断图象的循环往复 4 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 2 抓住函数的特征 定量计算 从函数的特征点 利用特征点 特殊值的计算分析解决问题 训练2 2018 浙江卷 函数y 2 x sin2x的图象可能是 解析设f x 2 x sin2x 其定义域为R且关于坐标原点对称 又f x 2 x sin 2x f x 所以y f x 是奇函数 故排除选项A B 答案D 考点三函数图象的应用多维探究角度1研究函数的性质 例3 1 已知函数f x x x 2x 则下列结论正确的是 A f x 是偶函数 递增区间是 0 B f x 是偶函数 递减区间是 1 C f x 是奇函数 递减区间是 1 1 D
9、f x 是奇函数 递增区间是 0 答案C 角度2求不等式的解集 例3 2 已知函数y f x 的图象是如图所示的折线ACB 且函数g x log2 x 1 则不等式f x g x 的解集是 A x 1 x 0 B x 1 x 1 C x 1 x 1 D x 1 x 2 答案C 角度3求参数的取值范围 解析在同一坐标系中 作y f x 与y b的图象 当x m时 x2 2mx 4m x m 2 4m m2 要使方程f x b有三个不同的根 则有4m m20 又m 0 解得m 3 答案 3 规律方法1 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数 其性质 单调性 奇偶性 周
10、期性 最值 值域 零点 常借助于图象研究 但一定要注意性质与图象特征的对应关系 2 利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 图象交点的横坐标 不等式f x g x 的解集是函数f x 的图象位于g x 图象下方的点的横坐标的集合 体现了数形结合思想 训练3 1 2019 昆明检测 已知f x 2x 1 g x 1 x2 规定 当 f x g x 时 h x f x 当 f x g x 时 h x g x 则h x A 有最小值 1 最大值1B 有最大值1 无最小值C 有最小值 1 无最大值D 有最大值 1 无最小值 2 已知函数f x
11、x 2 1 g x kx 若方程f x g x 有两个不相等的实根 则实数k的取值范围是 解析 1 画出y f x 2x 1 与y g x 1 x2的图象 它们交于A B两点 由 规定 在A B两侧 f x g x 故h x f x 在A B之间 f x g x 故h x g x 综上可知 y h x 的图象是图中的实线部分 因此h x 有最小值 1 无最大值 思维升华 1 识图对于给定函数的图象 要从图象的左右 上下分布范围 变化趋势 对称性等方面研究函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 注意图象与函数解析式中参数的关系 2 用图借助函数图象 可以研究函数的定义域 值域 单调性 奇偶性
12、 对称性等性质 利用函数的图象 还可以判断方程f x g x 的解的个数 求不等式的解集等 易错防范 2 明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同 前者是自身对称 且为偶函数 后者是两个不同函数的对称关系 3 当图形不能准确地说明问题时 可借助 数 的精确 注重数形结合思想的运用 直观想象 函数图象的活用 类型1根据函数图象特征 确定函数解析式函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法 图象形象直观 解析式易于研究函数性质 可根据需要 相互转化 直观想象是发现和提出问题 分析和解决问题的重要手段 在数学研究的探索中 通过直观手段的运用以及借助直观展开想象 从而发现问题
13、解决问题的例子比比皆是 并贯穿于数学研究过程的始终 而数形结合思想是典型的直观想象范例 例1 已知函数f x 的图象如图所示 则f x 的解析式可以是 答案A 类型2利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数 其性质 单调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助图象研究 但一定要注意性质与图象特征的对应关系 例2 2019 安徽江淮十校联考 已知max a b 表示a b两数中的最大值 若f x max e x e x 2 则f x 的最小值为 答案e A 0B mC 2mD 4m 答案B 评析1 由函数图象对称性 函数y f x 与y x2 2x 3 图象分别
14、关于直线x 1对称 则两图象的交点关于x 1对称 2 解此类求图象交点横 纵坐标之和的问题 常利用图象的对称性求解 即找出两图象的公共对称轴或对称中心 从而得出各交点的公共对称轴或对称中心 由此得出定值求解 类型3利用函数的图象求解方程或不等式 若研究的方程 不等式 不能用代数法求解 但其与基本初等函数有关 常将方程 不等式 问题转化为两函数图象的交点或图象的上下位置关系 然后由图象的几何直观数形结合求解 解析 1 f x 2sinxcosx x2 sin2x x2 函数f x 的零点个数可转化为函数y1 sin2x与y2 x2图象的交点个数 在同一坐标系中画出y1 sin2x与y2 x2的图象如图所示 由图可知两函数图象有2个交点 则f x 的零点个数为2 答案 1 2 2 A
