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1、第47讲 抛物线 1.2018北京丰台区一模 已知抛物线C的开口向下,其焦点是双曲线y23-x2=1的一个焦点,则C的标准方程为()A.y2=8xB.x2=-8yC.y2=2xD.x2=-2y2.2018四川达州四模 过抛物线y2=mx(m0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=54m,则m=()A.6B.4C.10D.83.2018吉林市三调 以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)4.2018四川绵阳三诊 抛物线y=2x2的焦点坐标是.5.
2、2018河南六市一模 已知抛物线y2=2ax(a0)的焦点为F,其准线与双曲线y24-x29=1相交于M,N两点,若MFN=120,则a=.6.2018安徽蚌埠质检 已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,O是坐标原点,FM的延长线交y轴于点N.若|FN|=2|OM|,则点M的纵坐标为()A.42B.-82C.42D.827.2018山东菏泽模拟 已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线:y2=2px(p0)上,且AOB的面积为93,则p=()A.3B.3C.32D.3328.2018辽宁六校期中 已知直线l1的方程为x-y-3=0,l2为抛物线x2=ay(a0)的准
3、线,抛物线上一动点P到l1,l2的距离之和的最小值为22,则实数a的值为()A.1B.2C.4D.289.2018湖南株洲质检 已知抛物线C1:y2=4x和圆C2:(x-1)2+y2=1,直线y=k(x-1)与C1,C2依次相交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)四点(其中x1x2x30),ABC的三个顶点都在抛物线上,O为坐标原点,设ABC的三条边AB,BC,AC的中点分别为M,N,Q,且M,N,Q的纵坐标分别为y1,y2,y3,若直线AB,BC,AC的斜率之和为-1,则1y1+1y2+1y3的值为()A.-12pB.-1pC.1pD.12p11.2018
4、黑龙江大庆二检 已知点A(4,0)及抛物线y2=4x的焦点F,若抛物线上的点P满足|PA|=2|PF|,则|PF|=.12.2018四川资阳三诊 抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A,B为抛物线上的两点,以AB为直径的圆过点F,过AB的中点M作抛物线的准线的垂线MN,垂足为N,则|MN|AB|的最大值为.13.2018湖南十四校一联 在平面直角坐标系中,动点M(x,y)(x0)到点F(1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)若Q(-4,2),过点N(4,0)作任意一条直线交曲线C于A,B两点,试证明kQA+kQB是一个定值.14.2018海南阶段性测试 已知
5、抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B(B位于第一象限)两点.(1)若直线AB的斜率为34,过点A,B分别作直线y=6的垂线,垂足分别为P,Q,求四边形ABQP的面积;(2)若|BF|=4|AF|,求直线l的方程.15.2018北京丰台区期末 在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程.(2)设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|,平行于AB的直线与曲线C相切于点D,问直线AD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.课时作业(四十七)1.B解析 双
6、曲线y23-x2=1的一个焦点为(0,-2),故抛物线的焦点坐标也是(0,-2),从而得到抛物线方程为x2=-8y.故选B.2.D解析 设抛物线y2=mx(m0)的焦点为F,P(x1,y1),Q(x2,y2),由抛物线的定义可知|PQ|=|PF|+|QF|=x1+x2+m2,线段PQ中点的横坐标为3,且|PQ|=54m,6+m2=54m,m=8.故选D.3.B解析 由题意得抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).4.0,18解析x2=12y,p=14,焦点坐标为0,18.5.32613解析
7、由题意知MFO=60(O为坐标原点),抛物线的准线方程为x=-a2,代入y24-x29=1,得|y|=21+a236,则tan60=21+a236a=3,解得a=32613.6.C解析 由题意知焦点F(4,0),|FN|=2|OM|,且FON=90,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知M是斜边FN的中点,点M的横坐标为x=0+42=2,当x=2时,点M的纵坐标y满足y2=16x=32,故y=42.故选C.7.C解析 根据拋物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=33x,与y2=2px联立,得B(6p,23p),因为AOB的面积为93,所以34(43p)2=9
8、3,解得p=32.故选C.8.C解析 由题意知,抛物线的焦点为F0,a4,准线l2的方程为y=-a4,点P到准线l2的距离d2=|PF|.过点P作PMl1于点M,则点P到直线l1的距离d1=|PM|,所以d1+d2=|PF|+|PM|,易知当点P为抛物线与FM的交点时,|PF|+|PM|取得最小值,即|PF|+|PM|的最小值为点F到直线x-y-3=0的距离,则d1+d2的最小值为|0-a4-3|2=22,得a=4,故选C.9.A解析 易知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线 l0:x=-1.由抛物线的定义得|AF|=xA+1,|AF|=|AB|+1,|AB|=xA.同理,|CD|=xD
9、.将y=k(x-1)代入抛物线方程,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,xAxD=1,则|AB|CD|=1.故选A.10.B解析 设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3).ABC的三个顶点都在抛物线上,yA2=2pxA,yB2=2pxB,两式相减并整理得(yA-yB)(yA+yB)=2p(xA-xB),而yA+yB=2y1,kAB=py1.同理可得kBC=py2,kAC=py3.py1+py2+py3=-1,1y1+1y2+1y3=-1p.11.22-1解析 设P(x0,y0),则y02=4x0,|PF|=x0+1.|PA
10、|=2|PF|,(x0-4)2+y02=2(x0+1),即4(x0+1)2=(x0-4)2+4x0,又x00,x0=-2+22,|PF|=22-2+1=22-1.12.22解析 由抛物线的定义得|MN|AB|=|AF|+|BF|2|AF|2+|BF|2|AF|2+|BF|22|AF|2+|BF|2=22,当且仅当|AF|=|BF|时取等号,故|MN|AB|的最大值为22.13.解:(1)由题意知点M到定点F(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等,点M的轨迹C是一个开口向右的抛物线,且p=2,点M的轨迹C的方程为y2=4x.(2)证明:设过点N(4,0)的直线方程为x=my+4,由y2=4
11、x,x=my+4,整理得y2-4my-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-16,kQA+kQB=y1-2x1+4+y2-2x2+4=y1-2my1+8+y2-2my2+8=-8m2-3216m2+64=-12,为定值.14.解:(1)由题意可得F(0,1),因为直线AB的斜率为34,所以直线AB的方程为y=34x+1,与抛物线方程联立,得x2-3x-4=0,解得x=-1或4,所以点A,B的坐标分别为-1,14,(4,4).所以|PQ|=|4-(-1)|=5,|AP|=6-14=234,|BQ|=|6-4|=2,易知四边形ABQP为梯形,所以四边形AB
12、QP的面积为S=12234+25=1558.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l:y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y,化简可得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.因为|BF|=4|AF|,所以-x2x1=4,所以(x1+x2)2x1x2=x1x2+x2x1+2=(4k)2-4=-4k2=-94,所以4k2=94,即k2=916,解得k=34.因为点B位于第一象限,所以k0,则k=34.所以直线l的方程为y=34x+1.15.解:(1)因为动点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,所以动点
13、P的轨迹是以点F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.设C的方程为y2=2px(p0),则p2=1,即p=2,所以C的方程为y2=4x.(2)直线AD过定点(1,0).设Am24,m,则Bm24+2,0,所以直线AB的斜率k=m-2=-m2.设与AB平行,且与抛物线C相切的直线方程为y=-m2x+b,由y2=4x,y=-m2x+b得my2+8y-8b=0,由=64-4m(-8b)=0得b=-2m,所以点D4m2,-4m.当m244m2,即m2时,直线AD的方程为y-m=m+4mm24-4m2x-m24,整理得y=4mm2-4(x-1),所以直线AD过定点(1,0).当m24=4m2,即m=2时,直线AD的方程为x=1,过定点(1,0).综上所述,直线AD过定点(1,0).
