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1、宁德市高中同心顺联盟2017-2018学年第二学期期中检测高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。1. 若复数是纯虚数，则的值为( ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 0或22. 一物体运动时的速度（单位：米/秒）与时间（单位：秒）满足，那么物体在2秒时的加速度是（ ）米/秒2A12 B14 C22 D 243. 函数的图象上一点处的切线方程为（ ）A B C D4. 在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积之比为1:4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为2:3，则它们的体积之比为（ ）A. 1:8 B.2:3 C. 4:9 D. 8
2、:275. 已知函数，则的极大值为（ ）A B C D6. 若，则( )A. 1B. C. D. 57. 若是函数的极值点，则的极大值为（ ）A B C D58. 由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A6 B C D9. 已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是( )A B C D 10. 已知函数，则（ ）A B C D 11. 用数学归纳法证明：时，由不等式成立，推证时，左边增加的代数式是（ ）A B C D12. 已知关于的不等式有唯一整数解，则实数的最小值为（ ）A B C D二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13若，则=_。 14若曲线的一条切线的斜率为2
3、，则切点横坐标为 。15已知复数的共轭复数在复平面内所对应的点在第三象限，则的取值范围是 。16已知，记， ()，则 。三、解答题：本大题 共6小题，共70分。17. （10分）若为正实数，请用分析法证明18. （12分）已知（），其中是虚数单位。()求的值；（）设在复平面内对应的点关于虚轴对称，求的值。19. （12分）已知为实数，。()求导数； （）若，求在上的最大值和最小值； ()若在上是递减的，求的取值范围。20. （12分）数列的前项和为，且（）。（）计算出、的值；（）猜测出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。21. （12分）某企业筹集了200万元资金全部投入生产甲、乙两种产品
4、。根据市场调查与预测，甲种产品的利润与投入资金（万元）的算术平方根成正比，比例系数为；乙种产品的利润与投入资金成正比，比例系数为；企业获得的总利润（万元）为甲、乙两种产品利润之和。若该企业投资甲、乙两产品各100万元时，企业获得的总利润为55万元。()将表示成的函数；()怎样分配这200万元资金才能使该企业获得的总利润达到最大？22. （12分）设函数（为常数，为自然对数的底数）。（I）当时，求函数的单调区间；（II）求证：存在，使得函数在内有三个零点。宁德市高中同心顺联盟2017-2018学年第二学期期中检测高二数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60
5、分。1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. D 8. A 9. C 10. B 11. D 12.A二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13 14 15 16 1 三、解答题：本大题 共6小题，共70分。17. （10分）若为正实数，请用分析法证明证明：要证，只要证2分 只要证（由为正实数）4分 只要证 只要证 只要证，显然成立，故原结论成立。10分18. （12分）已知（），其中是虚数单位。()求的值；（）设在复平面内对应的点关于虚轴对称，求的值。解: () 由得 1分 得 3分由两复数相等得: 5分 （）由()知: 6分在复平面内对应的点关于虚轴对
6、称， 8分 12分19. （12分）已知为实数，。()求导数； （）若，求在上的最大值和最小值； ()若在上是递减的，求的取值范围。解：（I）由原式得，2分（II）由，此时有，5分所以在上的最大值为，最小值为8分（III）的图象为开口向上且过点的抛物线，由条件得， 10分，所以的取值范围为。12分20. （12分）数列的前项和为，且（）。（）计算出、的值；（）猜测出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。解：() 由及，有 由及，得 由及，得 4分（）由()可猜测出数列的通项公式为5分 用数学归纳法证明如下： 当时，猜想成立；6分假设当时，猜想成立，即，7分 则当时，由由 有，猜想成立，11分
7、综合可知，数列的通项公式为12分21. （12分）某企业筹集了200万元资金全部投入生产甲、乙两种产品。根据市场调查与预测，甲种产品的利润与投入资金（万元）的算术平方根成正比，比例系数为；乙种产品的利润与投入资金成正比，比例系数为；企业获得的总利润（万元）为甲、乙两种产品利润之和。若该企业投资甲、乙两产品各100万元时，企业获得的总利润为55万元。()将表示成的函数；()怎样分配这200万元资金才能使该企业获得的总利润达到最大？解：()依题意生产甲种产品的利润为万元，生产乙种产品的利润为万元，故该企业总利润为 (万元) 2分根据题意得：当时，解得 4分（） 6分(注:定义域不写扣1分)()由(
8、)得. 7分令，解得，易知 8分随的变化情况如下表： 3610分极大值由表知，函数在上单调递增，在上单调递减，故该企业应投资甲产品36万元，乙产品164万元时所获得的利润最大，最大利润为59万元。 12分22. （12分）设函数（为常数，为自然对数的底数）。（I）当时，求函数的单调区间；（II）求证：存在，使得函数在内有三个零点。解：（I）函数的定义域为，2分由可得，所以当时，；当时，4分故的单调递减区间为，单调递增区间为； 5分（II）由（I）知，（1）当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故与在内最多2个交点，即函数在内最多2零点；6分（2）当时，令，令，（i）当时，有，易知当或时，；当时，故在内有极大值，极小值，7分又当时， 且，故要使函数在内有三个零点，只需存在，使得 9分 而，设，有，故存在，使得，即存在，使得又易知当时，有，故存在满足，使得函数在内有三个零点；11分 （ii）当时，有，有，函数在内最多1零点； （iii）当时，有，易知函数在内最多1零点；综上所述，存在，使得函数在内有三个零点。（）12分(注: （ii）（iii）没写不扣分)
