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1、中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷（五）一、 选择题( ) 1、设集合若，则的范围是 B （A）（B）（C）（D）（ ）2、设i为虚数单位，则展开式中的第三项为 D（A）（B）(C) 6 (D) （ ）3、已知点，B为椭圆+=1的左准线与轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 C（A）（B）（C）（D）（ ）4、已知函数，为的反函数，则函数与在同一坐标系中的图象为 A（A） （B） （C） （D）（ ）5、设、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题： 若 则若，则 若，则若，则其中真命题的序号是 D(A) (B) (C) (D)（ ）6、已知向量且，则锐角等于 B(A
2、)(B)(C) (D)（ ）7在等差数列中，数列是等比数列，且，则满足 的最小正整数为 A A4 B5 C6 D7（ ）8中，则的周长为DAB C D （ ）9、 若双曲线y2- x2=1与有唯一的公共点，则实数m的取值集合中元素的个数为 A2 B4 C5 D6（ ）10、已知函数的定义域是，值域是，那么满足条件的整数数对共有C （A）2个 （B）3个 （C） 5个 （D）无数个二、填空题11、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 . 212、把函数的图象按向量平移得到的函数图象的解析式为 .13、已知函数 那么不等式的解集为.14、= .15、在的展开式中，的系数为.16、一个底面边长为2c
3、m，高为cm的正三棱锥，其顶点位于球心，底面三个顶点都在球面上，则该球的体积是4cm317、观察下列式子：，则可以猜想的结论为：_.三、解答题18、某城市有30的家庭订阅了A报，有60的家庭订阅了B报，有20的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭. （）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；（）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；（）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率18、解：（）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A， 1分 5分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为.（）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件
4、为B， 6分 9分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为.（III） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C， 10分因为有30的家庭订阅了A报，有60的家庭订阅了B报，有20的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30.所以 14分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率为.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30，后面计算有误，给到14分.19、如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点 .（I） 求证： 平面；（II） 求二面角的大小； （III）求证：平面平面.19、（）证明：连结交于，连结. 1
5、分是正方形，是的中点.是的中点，是的中位线. 2分 又平面， 平面， 3分平面. 4分（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 5分 由故设，则 . 底面，是平面的法向量，设平面的法向量为, ,7分则即令,则. 8分, 二面角的大小为 9分（III）， ， 10分 12分又且. 又平面平面平面. 14分20、已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为（I）求抛物线S的方程；（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说明动直线PQ是否过一个定点.解：(I) 设抛物线S的方程为 1分由 可得 3分
6、由，有，或设则 5分设，由的重心为则， 6分点A在抛物线S上， 7分抛物线S的方程为 8分（II）当动直线的斜率存在时，设动直线方程为，显然 9分，设 10分将代入抛物线方程，得从而，动直线方程为，此时动直线PQ过定点 12分当PQ的斜率不存在时，显然轴，又，为等腰直角三角形.由得到，此时直线PQ亦过点. 13分综上所述，动直线PQ过定点. 14分21、在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【精析】写一个前五项不为零的“绝对差数列”不是难事，只要我们准确理解新型数列
7、的定义要证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项，感觉没有思路，我们不妨再列举几个“绝对差数列”，看看有没有规律21、（1）（答案不唯一），(2)根据定义，数列an 必在有限项后出现0项，证明如下：假设an 中没有0项，由于an=|an1an2|，所以对于的n，都有an1，从而当an1an2时，an=an1an2an11（n3）当an1an2时，an=an2an1an21（n3）即an的值要么比an1至少小1，要么比an2至少小1令，n=1，2，3，则0cncn11(n=2,3,4,),由于c1是确定的正整数，这样减下去，必然存在某项c10，这与cn0(n=1，2,3,4,)矛盾，从而an 必有0项。若第一次出现的0项为第n项，记an-1=A(A0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【精评】以提出一个新概念的方式来考查数列知识，颇具创新特色。22、已知函数,其中.(1)设在处取得极值,其中,求证:;(2)设,求证:线段的中点在曲线上;(3)若,求证:过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.22、解:(1),的两根为,令,故有.(2)设中点,则,故有,.代入验算可知在曲线上.(3)过曲线上的点的切线的斜率是,当时,切线的斜率;当时,切线斜率.,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.
