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1、 行行 程程 问问 题题 行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一 计算 数论 几何 行程 具体题型变化多样 形成 10 多种题型 都有各自相对独特的解题方法 现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下 希望各位看过之后 给予更加明确的分类 一般行程问题 相遇问题 重点 相遇问题 重点 与相离问题 两类问题的共同点是 都用到了速度和 行程问题几大题型行程问题几大题型 追及问题与领先问题 两个问题的共同点是同向而行 一快 一慢 有速度差 火车过桥问题 流水行船问题 钟表问题 行程问题是 行路时所产生的路程 时间 速度的一类应用题 基本数 量关系如下 速度 时间 路程 路程 时间 速
2、度 路程 速度 时间 注 意总行程的平均速度的算法 平均速度 总路程 总时间 而不是两个 或几个 速度相加再除以 2 行程问题涉及的变化较多 有的涉及一个物体的运动 有的涉及两个物 体的运动 有的涉及多个物体的运动 涉及两个物体运动的 又有 相向 运动 相遇问题 同向运动 追及问题和领先问题 和 相背运动 相离问题 三种情况 但归纳起来 不管是 一个物体的运动 还是 两个物体的运动 不管是 相向运动 同向运动 还是 相背运动 他们的特点是一样的 具体地说 就是它们反映出来的数量关系是相同的 都可以归纳为 速度 时间 路程 路程 时间 速度 路程 速度 时间 在各类行程问题中 进一步推演的数量关
3、系都依赖于这一基本思想 在学 习时要多注意从 简单 到 复杂 的推导过程 重在理解 在理解的基础上 形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用 此类问题的题型 非常多且富于变化 但是 万变不离其宗 希望学习者能深入理解其中包含的 数学思想的本源 从而做到 以不变应万变 解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的 情节 形象地表示出来 有助于分析数量关系 有助于迅速地找到解题思路 相向而行的公式 相遇时间 距离 速度和 相背而行的公式 相背距 离 速度和 时间 追及问题的公式 速度慢的在前 快的在后 追及时间 追及距离 速度差 在环形跑道上 速度快的在前 慢的在后 追及距离 速度差 时间
4、 例如求环形跑道的长度 追及距离 时间 速度差 追 及距离 速度差 时间 火车过桥问题 流水行船问题 用行程问题结 合图形知识解答的 钟表问题 是几类较特殊的行程问题 在解题时更要注 意具具体体问问题题具具体体分分析析 要正确的解答有关 行程问题 的应用题 必须弄清物体运动的具体情 况 如运动的方向 相向 相背 同向 出发的时间 同时 不同时 出发的地点 同地 不同地 运动的路线 封闭 不封闭 运动的结果 相遇 相距多少 交错而过 追及 两个物体运动时 运动的方向与运动的速度有着很大关系 当两个物体 相向运动 或 相背运动 时 此时的 运动速度都是 两个物体运动速 度的和 简称速度和 当两个物
5、体 同向运动 时 此时两个物体的 追及的速度就变为了 两个物体运动速度的差 简称速度差 当物体运动有外作用力时 速度也会发生变化 如人在赛跑时顺风跑和 逆风跑 船在河中顺水而下和逆水而上 此时人在顺风跑时运动的速度就应 该等于人本身运动的速度加上风的速度 人在逆风跑时运动的速度就应该等 于人本身的速度减去风的速度 我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度 会发现 顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度 同样比较 顺水 而下 与 逆流而上 两个速度之间也相差着两个 水流的速度 所 谓 逆水行舟 不进则退 就是这个道理 1 相遇问题和相离问题 相遇问题和相离问题 1 相遇问题 两物体分别从两地出发
6、 相向相向而行 注意关键词 相向 如果两物体同时出发 相遇时所用时间一定相同 注意对速度和的理解相遇时所用时间一定相同 注意对速度和的理解 图示图示 甲 乙 甲从 A 地出发 乙 从 B 地出发 关系式 关系式 相遇时间 总路程 速度和 总路程 速度和 相遇时间 典型例题 典型例题 两港相距 168 千米 一艘客轮和一艘货轮同时从两港相对开出 客轮每小时 行 24 千米 货轮每小时行 18 千米 几小时后两艘轮船相距 21 千米 甲乙两车同时从东西两地相向开出 甲车每小时行 60 千米 乙车每小时行 52 千米 两车在离中点 16 千米处相遇 东西两地相距多少千米 A B 两地相距 470 千
7、米 甲车以每小时 46 千米 乙车以每小时 40 千米的 速度先后从两地出发 相向而行 相遇时甲车行驶了 230 千米 问 乙车比甲 车早出发几小时 甲 乙两车的速度比是 3 4 两车同时从两地相向而行 在离中点 6 千米 处相遇 求两地相距多少千米 解法 一 由题意可知 甲乙两车同时开出后 路程比成正比例 总是等于 速度比 设两地间路程的一半为 X 则 解比例得 X 42 42 2 84 千米即为两地间的距离 6 6 x x 4 3 6 千米 解法 二 甲 乙 中点中点 从线段图上我们可以看出 相遇时 甲差 6 千米到达中点 乙已经过了中点 6 千米 甲和乙的路程差是 6 千米的两倍 如果将
8、两地间距离成看成 3 4 7 份 的话 相遇时甲和乙的路程差是其中的 一份 则有 6 2 84 千米 43 34 多人相遇问题 多人相遇问题 解决此类问题同时要理解领先问题 解决此类问题同时要理解领先问题 甲 乙 丙三人 每分钟分别行 68 米 70 5 米 72 米 现甲 乙从东镇去西镇 丙从西镇去东镇 三人同时出发 丙和乙相遇后 丙又过了 2 分钟与甲相遇 求 东西两镇相距多少千米 解决此类问题同时要理解 解决此类问题同时要理解与与 封闭路程封闭路程 有关的行程问题有关的行程问题 甲乙丙三人沿 着湖边散步 同时从湖边的一个地点出发 甲按顺时针方向走 乙与丙按逆时 针方向走 甲第一次遇到乙后
9、 1分钟遇到丙 再过 3分钟第二次遇到乙 4 1 4 3 已知乙的速度是甲的 湖的周长是 600 米 求丙的速度 3 2 多次相遇问题 多次相遇问题 甲乙两辆汽车同时从 A B 两地相对开出 甲每小时行 75 千米 乙每小时行 65 千米 甲 乙两车第一次相遇后继续前进 分别到达 B A 两地后 立即按 原路返回 两车从出发到第二次相遇共行了 6 小时 A B 两地相距多少千米 一个游泳池长 90 米 甲 乙二人分别从游泳池的两端同时出发 游到另一 端立即返回 照这样往 返游 两人游 10 分钟 甲每秒游 3 米 乙每秒游 2 米 二人会相遇几次 2 相离问题 两物体从同一地点出发 相背相背而
10、行 注意对注意对 速度和速度和 的的 理解 理解 注意时间的因素 图示 图示 甲 出发点 乙 A B 关系式 关系式 相离距离 速度和 相背而行的时间 典型例题 相遇和相离的综合问题举例 典型例题 相遇和相离的综合问题举例 A B 两地相距 420 千米 甲车从 A 地 出发开往 B 地 每小时行驶 72 千米 甲车行驶 25 分钟后 乙车从 B 地开往 A 地 每小时行驶 28 千米 两车相距 100 千米时 甲车共行驶多长时间 分析 各种情况 2 追及问题和领先问题 追及问题和领先问题 1 追及问题 两物体同向而行 一快一慢 慢者先行 快者追之两物体同向而行 一快一慢 慢者先行 快者追之
11、图示 图示 慢者先走出一段距离 就是需要追及的距离 在快者追时慢者继续往前走 快者此时此地追起 追到 出发点 注意 追上 时一共走出的路程不叫追及距离 关系式 关系式 追及时间 需要追及的距离 速度差 追及距离 速度差 追及时间 速度差 追及距离 所用时间 近而再根据其他已知条件求出各自速度 从而解 决问题 速度差 速度 快的 速度 慢的 需要追及的距离也就是慢者先行的距离或 者快者开始出发时距慢者的距离 典型例题 典型例题 晚饭后 小明和爸爸沿同一条公路去散步 小明走得慢 每分钟走 60 米 所以他先从家出发 5 分钟后 爸爸以每分钟 80 米的速度去追小明 经过多少 分钟可以追上 A B
12、两地相距 1800 米 若甲乙两人分别从 A B 两地同时出发 9 分钟会 相遇 如果两人同向而行 则甲 30 分钟可以追到乙 问 甲从 A 地到 B 地需要 多少小时 甲乙丙三辆车先后从 A 地开往 B 地 乙比丙晚出发 5 分钟 出发后 45 分钟 追上丙 甲比乙晚出发 15 分钟 出发后 1 小时追上丙 甲出发后几小时追上乙 解法 设数法解题 上午 8 时 8 分 小明骑自行车从家里出发 8 分钟后 爸爸骑摩托车去追他 在离家 4 千米的地方追上了小明 然后爸爸立即回家 到家后 爸爸又立即回 头去追小明 再追上他的时候 离家恰好是 8 千米 这时是几点几分 解法 下图中实线是爸爸从第一次
13、追上小明到第二次追上小明所走的路线 虚线是同时间小明走的路线 从线段图中我们可以看出爸爸走了 3 个 4 千米的 时间 小明只走了 1 个 4 千米 小明所行路程是爸爸所行路程的 相同时间 3 1 内 路程与速度成正比 则小明的速度是爸爸速度的 3 1 4 千米 4 千米 爸爸 小明 家 第一次追上时离家 4 千米 第二次追上时离家 8 千米 我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况 由于小明的速度是爸爸速度的 从爸爸第一次开始追小明到追上小明的这段时间内 爸爸行出 4 千米 小 3 1 明行出 4 千米的 同样是根据相同时间内 路程与速度成正比 小明必 3 1 须先行出 4 千米的 也就是说 小
14、明用 8 分钟的时间先行出 3 13 3 2 4 千米 3 2 3 8 小明先用 8 分钟时间 走出 4 千米的 小 明 3 2 爸 爸 进而我们求出小明的速度是 8 千米 分钟 小明 8 点 8 分从家里出发 3 8 3 1 到爸爸二次追上小明时 小明共行8 千米 8 24 分钟 从而求得第二 3 1 次追上的时间是 8 点 32 分 解题过程 4 4 8 4 1 千米 3 1 3 1 3 8 8 千米 分钟 3 8 3 1 8 24 分钟 8 24 32 分 答 这时是 8 点 32 分 3 1 2 领先问题 两物体同向而行 在同一出发点同时出发 一快一慢 两物体同向而行 在同一出发点同时
15、出发 一快一慢 则快 者必领先于慢者 图示 图示 慢 者 快 者 快者领先的距离 两者在同一出发点同时出发 关系式 关系式 领先距离 速度差 所用时间 速度差 领先距离 所用时间 所用时间 领先距 离 速度差 典型例题 甲乙两人练跑步 甲跑步的速度每分钟比乙快千米 两人从某地同时 50 3 出发 跑了一段时间后 甲领先乙200 米 问此时甲跑了多少秒 小李和老王同时从 A 地出发去 B 地 小李骑电动车 老王开汽车 2 分 钟后小李在老王的后方 0 5 千米 A B 两地相距 90 千米 老王用了 3 个 小时到达 B 地 问小李到达 B 地时 老王已经到达 B 地多长时间了 两辆汽车同时从某
16、地出发 运送一批货物到距离165 千米的工地 甲车 比乙车早到 48 分钟 当甲车到达时 乙车还距工地24 千米 问 甲车行 完全程用了多少小时 注意 此题虽然是 领先问题 的模式 但是却没有用到速度差 路程差的关 系式 而是根据题意先求出了乙车的速度 然后直接利用到达目的地的时间差 求出快车 题目中的甲车 行完全程所用的时间 可见 分析问题重在思维灵 活 不能僵化地利用公式 两条公路成十字交叉 甲从十字路口南 1200 米处向北直行 乙从十字路口 处向东直行 甲 乙同时出发 10 分钟时 两人与十字路口的距离相等 出发 后 100 分钟 两人与十字路口的距离再次相等 此时他们距离十字路口多少米 与 封闭路程 有关的行程问题 注意以下两点 一是两人同地背向运动 从一次相遇到下次相遇共行一个全程 二是同地同向运动时 甲追上乙时 甲比多行一个全程 典型例题 典型例题 在 300 米的椭圆形跑道上 小田和小刘同时同地起跑 如果同向而跑 2 分 30 秒相遇 如果背向而跑则半分钟相遇 小齐和小强的速度分别是多少 如图 A B 是圆形跑道的两端 小张在 A 点 小陈在 B 点同时出发 反向 行走
