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1、学期： 2005至2006学年度 第 二 学期 线性代数 得分一、 计算行列式 (10分)解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 , -4分再将各列都加到第一列上, 得 -8分=x+(n-1)a(x-a)n-1.-10分得分二、 求矩阵的逆阵（10分）解 设, -2分则 , -6分于是 -10分得分三、 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h1, h2, h3是它的三个解向量. 且 h1=(2, 3, 4, 5)T, h2+h3=(1, 2, 3, 4)T,求该方程组的通解. （12分）解：由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系
2、含有一个向量, -4分且由于h1, h2, h3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2h1-(h2+h3)=(h1-h2)+(h1-h3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量-10分 故此方程组的通解为：x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (kR).-12分得分四、 已知R3的两个基为 a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, -1)T, a3=(1, 0, 1)T； b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T.求由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵P.（12分）解：设
3、e1, e2, e3是三维单位坐标向量组, 则 于是 由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵为 .-12分得分五、 设 问l为何值时, 此方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解? （15分）解 . -6分 (1)要使方程组有唯一解, 必须R(A)=3. 因此当l1且l-2时方程组有唯一解.-9分 (2)要使方程组无解, 必须R(A)R(B), 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)20. 因此l=-2时, 方程组无解. -12分 (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R(A)=R(B)3, 故 (1-l)(2+l)=0, (1-l)(l+1)2=0.
4、因此当l=1时, 方程组有无穷多个解.-15分得分六、 （1）判定向量组 (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T 是线性相关还是线性无关；（2）试用施密特法把向量组 正交化（16分）。解：(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为 -6分所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关-8分（2）根据施密特正交化方法, -2分 -5分 -8分得分七、 已知阶矩阵的特征值为, 求.（10分）解 令j(l)=l3-5l2+7l,-2分则j(-1)=-13, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值,-6分故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(
5、1)j(2)j(3)=-1323=-78.-10分得分八、 求一个正交变换将二次型化成标准形（15分）解 二次型的矩阵为-2分由 得A的特征值为l1=2, l2=5, l3=1-5分 当l1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 由,得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T-7分 当l2=5时, 解方程(A-5E)x=0, 由,得特征向量(0, 1, 1)T. 取-9分 当l3=1时, 解方程(A-E)x=0, 由,得特征向量(0, -1, 1)T. 取-11分 于是有正交矩阵T=(p1, p2, p3)和正交变换x=Ty, 使 f=2y12+5y22+y32-15分 第 4 页 共 4 页
