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1、. 专业.专注 . 圆锥曲线与方程椭圆1椭圆定义：一个动点P，平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（=2（为常数）2）的点的轨迹叫做椭圆若2，则动点P的轨迹是椭圆若2=，则动点P的轨迹是线段F1F2 若2，则动点P无轨迹其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。2椭圆的标准方程：焦点在轴上时，方程为 焦点焦点在轴上时，方程为 焦点 注:椭圆的一般方程：参数方程 为参数)3椭圆的性质：(1)范围：，(2)对称性：关于轴、轴、原点对称(3)顶点坐标、焦点坐标是(4)长轴长2、短
2、轴长2、焦距2c、长半轴、短半轴、半焦距(5)椭圆的，准线方程是，准线到中心的距离为.通径的长是， 通径的一半(半通径)：， 焦准距（焦点到对应准线的距离） (6)离心率，离心率越大，椭圆越扁(7)焦半径：若点是椭圆上一点，是其左、右焦点，焦半径的长：和4椭圆的的内外部：（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部5椭圆系方程：与椭圆共焦点的椭圆系方程可设为：是（）与椭圆有相同离心率的椭圆系方程可设为：或.补充性质：1.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.2.若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点
3、半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.6.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。7.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.8.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.9.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.10.PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.11.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF
4、NF.12.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.13.已知椭圆（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.14. P为椭圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.例 题 分 析例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值（故）例 2 （1）已知方程表示椭圆，求的取值范围（2）已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围解：（1）满足条件的的取值范围是，且（2）说明：(1)由椭圆的
5、标准方程知，这是容易忽视的地方(2)由焦点在轴上，知， (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件例3（1） 已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程（2）已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程（3）已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程（4）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程（5）知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹解：（1）故椭圆的方程为 或 （2）所求椭圆方程为或（3）分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆和定圆内切于点
6、动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例4 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解故其方程为（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）例5 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（
7、4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上式两端同除以，有，将代入得（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得， ， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ， 即 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例6已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该
8、直线对称分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上利用上述条件建立的不等式即可求得的取值范围解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点的斜率，设直线的方程为由方程组消去得。于是，即点的坐标为点在直线上，解得将式代入式得，是椭圆上的两点，解得(法2)同解法1得出，即点坐标为，为椭圆上的两点，点在椭圆的内部，解得(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为，在椭圆上，两式相减得，即又直线，即。又点在直线上，。由，得点的坐标为以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)
9、利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程(2)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式补充练习1.求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；或（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6（3） 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置或（4） 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点， 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与
10、曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题（5）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程2.一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率3.已知椭圆的离心率，求的值或4. 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解5.已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点(1)求的最大值、最小值及对应的点坐标 ； (2)求的最小值及对应的点的坐标 坐标6. (1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积7. 求椭圆上的点到直线的距离的最小值分析：先写出椭圆的参数方
11、程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值8. 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程方程为9. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要 使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决10.椭圆上不同三点，与焦点的距离成等差数列（1）求证；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率证明：（1）由椭圆方程知，由圆锥曲线的统一定义知：， 同理 ，且， ，即
12、（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为 又点在轴上，设其坐标为，代入上式，得 又点，都在椭圆上， 将此式代入，并利用的结论得 11.椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围分析：、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、的一个不等式，转化为关于的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程解：设椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，即，解得或，（舍去），又，又，说明：若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使如何证明？12.已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离 是与的等比中项
13、？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：假设存在，设，由已知条件得，左准线的方程是，又由焦半径公式知：，整理得解之得或 另一方面 则与矛盾，所以满足条件的点不存在说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）13.已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：设，为方程两根，所以， 从而(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，则，在中，即；所以同
