离散数学第四章代数结构

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1、1 代数结构 代数结构又名近世代数或抽象代数学 是数学中最重要的 基础的分支之一 是在初等代数学的基础上产生和发展起来的 它起始于十九世纪初 形成于20世纪30年代 在这期间 挪威数学家阿贝尔 N H Abel 法国数学家伽罗瓦 E Galois 英国数学家德 摩根 A DeMorgan 和布尔 G Boole 等人都做出了杰出贡献 荷兰数学家范德瓦尔登 B L VanDerWaerden 根据德国数学家诺特 A E Noether 和奥地利数学家阿廷 E Artin 的讲稿 于1930年和1931年分别出版了 近世代数学 一卷和二卷 标志着抽象代数的成熟 2 第三部分代数结构 代数结构是以研

2、究数字 文字和更一般元素的运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质为中心问题 它对现代数学如扑拓学 泛函分析等以及一些其他科学领域 如计算机科学 编码理论等 都有重要影响和广泛地应用 3 第三部分代数结构 主要内容 代数系统 二元运算及其性质 代数系统和子代数半群与群 半群 独异点 群环与域 环 整环 域格与布尔代数 格 布尔代数 4 第4章代数系统 主要内容 1 二元运算及其性质一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质 2 代数系统代数系统定义及其实例子代数积代数 3 代数系统的同态与同构 5 4 1二元运算及其性质 定义4 1设S为集合 函数f S S S称为S上的二元运

3、算 简称为二元运算 S中任何两个元素都可以进行运算 且运算的结果惟一 S中任何两个元素的运算结果都属于S 即S对该运算封闭 例1 1 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算 但减法和除法不是 2 整数集合Z上的加法 减法和乘法都是Z上的二元运算 而除法不是 3 非零实数集R 上的乘法和除法都是R 上的二元运算 而加法和减法不是 6 实例 4 设Mn R 表示所有n阶 n 2 实矩阵的集合 即 则矩阵加法和乘法都是Mn R 上的二元运算 5 S为任意集合 则 为P S 上二元运算 6 SS为S上的所有函数的集合 则合成运算 为SS上二元运算 7 一元运算的定义与实例 定义4 2设S为集合 函

4、数f S S称为S上的一元运算 简称一元运算 例2 1 求相反数是整数集合Z 有理数集合Q和实数集合R上的一元运算 2 在幂集P S 上规定全集为S 则求绝对补运算 是P S 上的一元运算 3 在n n 2 阶实矩阵的集合Mn R 上 求转置矩阵是Mn R 上的一元运算 8 二元与一元运算的表示 1 算符可以用 等符号表示二元或一元运算 称为算符 对二元运算 如果x与y运算得到z 记做x y z对一元运算 x的运算结果记作 x 2 表示二元或一元运算的方法 解析公式和运算表公式表示例设R为实数集合 如下定义R上的二元运算 x y R x y x 那么3 4 3 0 5 3 0 5 9 运算表

5、表示有穷集上的一元和二元运算 运算表 二元运算的运算表一元运算的运算表 10 例3设S P a b S上的 和 运算的运算表如下 运算表的实例 11 二元运算的性质 定义4 3设 为S上的二元运算 1 若对任意x y S有x y y x 则称运算在S上满足交换律 2 若对任意x y z S有 x y z x y z 则称运算在S上满足结合律 3 若对任意x S有x x x 则称运算在S上满足幂等律 12 二元运算的性质 定义4 4设 和 为S上两个不同的二元运算 1 若对任意x y z S有 x y z x z y z z x y z x z y 则称 运算对 运算满足分配律 2 若 和 都可

6、交换 且对任意x y S有x x y x x x y x 则称 和 运算满足吸收律 13 实例 Z Q R分别为整数 有理数 实数集 Mn R 为n阶实矩阵集合 n 2 P B 为幂集 AA为从A到A的函数集 A 2 14 实例 Z Q R分别为整数 有理数 实数集 Mn R 为n阶实矩阵集合 n 2 P B 为幂集 AA为从A到A的函数集 A 2 15 特异元素 单位元 定义4 5设 为S上的二元运算 1 如果存在el 或er S 使得对任意x S都有el x x 或x er x 则称el 或er 是S中关于 运算的左 或右 单位元 若e S关于 运算既是左单位元又是右单位元 则称e为S上关

7、于 运算的单位元 单位元也叫做幺元 16 特异元素 零元 定义4 5设 为S上的二元运算 2 如果存在 l 或 r S 使得对任意x S都有 l x l 或x r r 则称 l 或 r 是S中关于 运算的左 或右 零元 若 S关于 运算既是左零元又是右零元 则称 为S上关于运算 的零元 17 特异元素 可逆元素和逆元 3 设 为S上的二元运算 令e为S中关于运算 的单位元 对于x S 如果存在yl 或yr S使得yl x e 或x yr e 则称yl 或yr 是x的左逆元 或右逆元 关于 运算 若y S既是x的左逆元又是x的右逆元 则称y为x的逆元 如果x的逆元存在 就称x是可逆的 18 实例

8、 19 惟一性定理 定理4 1设 为S上的二元运算 el和er分别为S中关于运算的左和右单位元 则el er e为S上关于 运算的惟一的单位元 设 为S上的二元运算 el和er分别为S中关于运算的左和右零元 则 l r 为S上关于 运算的惟一的零元 注意 1 当 S 2 元素个数多于2个 单位元与零元是不同的 2 当 S 1 只有1个元素 时 这个元素既是单位元也是零元 20 定理4 2设 为S上可结合的二元运算 e为该运算的单位元 对于x S如果存在左逆元yl和右逆元yr 则有yl yr y 且y是x的惟一的逆元 说明 对于可结合的二元运算 可逆元素x只有惟一的逆元 记作x 1 书上例12

9、惟一性定理 21 4 2代数系统 定义4 6非空集合S和S上k个一元或二元运算f1 f2 fk组成的系统称为代数系统 简称代数 记做 实例 1 是代数系统 和 分别表示普通加法和乘法 2 是代数系统 和 分别表示n阶 n 2 实矩阵的加法和乘法 3 是代数系统 Zn 0 1 n 1 和 分别表示模n的加法和乘法 对于x y Zn x y x y modn x y xy modn 4 是代数系统 和 为并和交 为绝对补 22 代数系统的成分与表示 构成代数系统的成分 集合 也叫载体 规定了参与运算的元素 运算 这里只讨论有限个二元和一元运算 代数常数 通常是与运算相关的特异元素 如单位元等 研究

10、代数系统时 如果把运算具有它的特异元素也作为系统的性质之一 那么这些特异元素可以作为系统的成分 叫做代数常数 例如 代数系统 集合Z 运算 代数常数0代数系统 集合P S 运算 和 无代数常数 23 代数系统的表示 1 列出所有的成分 集合 运算 代数常数 如果存在 如 2 列出集合和运算 在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质 无代数常数 如 3 用集合名称简单标记代数系统在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用如代数系统Z P B 24 同类型与同种代数系统 定义4 7 1 如果两个代数系统中运算的个数相同 对应运算的元数相同 且代数常数的个数也相同 则称它们是同类型的代数系统 2 如果两

11、个同类型的代数系统规定的运算性质也相同 则称为同种的代数系统 例如V1 V2 为n阶全0矩阵 E为n阶单位矩阵V3 V1 V2 V3是同类型的代数系统 它们都含有2个二元运算 2个代数常数 V1 V2是同种的代数系统 V1 V2与V3不是同种的代数系统 25 运算性质比较 26 子代数系统 定义4 8 设V 是代数系统 B是S的非空子集 如果B对f1 f2 fk都是封闭的 且B和S含有相同的代数常数 则称是V的子代数系统 简称子代数 有时将子代数系统简记为B 实例 是的子代数 也是的子代数 是的子代数 但不是的子代数 因为代数常数不一样 说明 1 子代数和原代数是同种的代数系统 2 对于任何代

12、数系统V 其子代数一定存在 27 练习1 1 设 运算为Q上的二元运算 x y Q x y x y 2xy 1 判断 运算是否满足交换律和结合律 并说明理由 2 求出 运算的单位元 零元和所有可逆元素的逆元 28 1 运算可交换 可结合 任取x y Q x y x y 2xy y x 2yx y x 任取x y z Q x y z x y 2xy z 2 x y 2xy z x y z 2xy 2xz 2yz 4xyzx y z x y z 2yz 2x y z 2yz x y z 2xy 2xz 2yz 4xyz 解答 29 2 设 运算的单位元和零元分别为e和 则对于任意x有x e x成立

13、 即x e 2xe x e 0由于 运算可交换 所以0是幺元 对于任意x有x 成立 即x 2x x 2x 0 1 2给定x 设x的逆元为y 则有x y 0成立 即x y 2xy 0 x 1 2 因此当x 1 2时 是x的逆元 解答 30 2 下面是三个运算表 1 说明那些运算是可交换的 可结合的 幂等的 2 求出每个运算的单位元 零元 所有可逆元素的逆元 练习2 31 解 解答 1 满足交换律 满足结合律 不满足幂等律 不满足交换律 满足结合律 满足幂等律 满足交换律 满足结合律 不满足幂等律 2 的单位元为b 没有零元 a 1 c b 1 b c 1 a 的单位元和零元都不存在 没有可逆元素 的单位元为a 零元为c a 1 a b c不是可逆元素 32 总结 主要内容 代数系统的构成 非空集合 封闭的二元和一元运算 代数常数二元运算性质和特异元素 交换律 结合律 幂等律 分配律 吸收律 单位元 零元 可逆元和逆元同类型的与同种的代数系统子代数的定义与实例