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1、. . . .浅谈初高中数学思想方法姓名：周颖学号：56几千年的数学发展史告诉我们：数学思想方法存在和活跃在整个数学发展的进程之中，例如古希腊的亚里士多德与欧几里得提出公理化方法，把大量的、零散的几何知识系统化，最后成就了欧式几何；中国古代数学家刘徽提出的“割圆术”，从而解决了长期以来圆周率不准确的问题，其中也包含着极限思想的萌芽，笛卡尔采用变量的思想方法来看几何曲线，引进了坐标系，从而创立了代数方法研究几何问题的新数学分支解读几何，牛顿、莱布尼茨提出了无穷小量的方法，创立了非欧几何理论，并解决了两千多年来几十代数学家为之困扰的欧式几何第五公设问题；希尔伯特别重视解题方法的研究，他曾在1900
2、年巴黎国际数学家大会上作了题为数学问题的演讲，精辟地阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展史中的作用，并列举了23个重大数学问题，对推动20世纪数学的发展产生了巨大的影响，人们普遍认为这个演讲本身就是一篇数学思想方法的重要著作。b5E2RGbCAP一、 数学思想方法随着近代和现代数学的发展，数学方法论作为一门独立的学科已经建立并有了相应的发展，其中最重要的标志之一就是出现了许多具有划时代意义的数学思想方法，导致了数学基础学科的重大变革。p1EanqFDPw1 数学思想方法的含义我们知道，数学发展的动力，无疑来自人类的生产实践活动，而数学思想和数学方法是其中重要的因素。而数学思想是人们通过数学活
3、动(包括发现、研究数学知识、应用数学知识解决问题和教授与学习数学知识三项活动认识世界的过程中所形成的基本观点；数学思想方法是为数学活动提供的思路、方式、逻辑手段和操作原则。DXDiTa9E3d 这里所说的数学思想方法广义地讲，任何数学知识都是思想方法）是贯穿于数学知识之中的微观线索。思想方法以知识为基础，隐含在知识之中，反过来又指导、促进知识的发展深化及向能力的转化。方法是实施思想的手段，思想是对应方法的精神实质和理论依据。数学思想方法是数学的生命和灵魂，它具有普遍意义和永恒的价值。RTCrpUDGiT2 一般的数学思想方法数学的方法分为一般的思想方法和具体的方法包括解题方法）有几百种之多，不
4、多述。常见的一般的初高中数学思想方法如下：公理化方法化归方法数学思想方法特殊化与一般化方法数形结合方法分类讨论的思想方法 反证法（1） 公理化方法公理化方法是把某一数学分支的理论按照一组选定的公理进行序化的数学思想，相应的方法是建立演绎科学理论的一种方法，称作公理化方法。5PCzVD7HxA在具体的研究工作中，公理化方法，特别是它的逻辑思维有着重要作用。如图所示：定律或假设数学资料公理综合公理观察结果和实验数据该图表明，由“果”到“因”。即对所得的观察材料，运用数学的公理推导方法，归纳出定律。由“因”到“果”如下图所示。公 理定 理实验 推理逻辑 演绎定律或假设结 论从基本假说或少数定律出发，
5、进行理论推导，看会推出哪些尚未观测得到的或尚未发现过的现象，然后再用实验去验证。jLBHrnAILg例如：用公理化方法在整理数学知识，促进新理论的创立和对数学乃至其他科学理论的表述都有重要作用；用公理化方法可把零散的数学知识用逻辑链条串联起来，使之成为一个简洁的、条理的、和谐的有机体系，等等。xHAQX74J0X公理化思想方法具有重要作用，但我们也应该看到它有局限性。如：(1) 公理化方法重逻辑思维，轻实验方法；主要用于“回顾性”总结，较少用于发现和“探索性”的展望。(2) 公理系统的相容性、独立性和完备性要求，不仅在理论上常难以全部满足，而且对于一些新兴的数学分支以及生活实际有较密切的研究，
6、有可能起束缚作用。LDAYtRyKfE(3) 用公理化方法建立起来的理论体系未必正确或完全正确，它必须接受实践的检验，才能去伪存真，否定错误并发展真理。Zzz6ZB2Ltk（2） 化归方法 化归方法就是把待求解的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，借此来获得问题的解决。dvzfvkwMI1 化归方法又称化归原则，是数学方法论中的基本方法之一，是数学家思考和解决问题的基本原则。为了更好地把握化归的方向，我们必须遵循一些化归的基本原则。rqyn14ZNXI1.熟悉化原则熟悉就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解
7、决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教案的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。EmxvxOtOco例1现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正八边形形状的地砖，如果选择其中的两种铺满平整的地面，那么选择的两种地砖不能是 ）SixE2yXPq5A 正三角形与正方形 B 正三角形与正六边形C 正方形与正六边形 D 正方形与正八边形6ewMyirQFL分析：平面镶嵌问题符合当前新课程改革的新理念，
8、在近年的中考命题中已引起人们的关注。这看似是一个几何问题，但我们可以将它转化成我们熟悉的方程问题来解决。如：A中正三角形的内角是60、正方形的内角是90，设x个正三角形和y个正方形可以铺满地面，则x60+y90=360，找到二元一次方程的正整数解即可。这样我们可以发现对于C选项而言，由于x90+y120=360没有正整数解，故选C。kavU42VRUs再如：我们在解二元一次方程组的时候总是通过“代入法”或“加减法”把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决。y6v3ALoS892.简单化原则简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定解决方案的问题，从而使问题获解。中学数学受多年应试教
9、育的影响，有些问题被复杂化了，而学生对于这类问题却又相当头疼，所以通过化归，将问题变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路，往往更容易让学生接受。M2ub6vSTnP3.具体化原则具体化就是把比较抽象的问题转化为比较具体、直观的问题，以便形象地把握问题所涉及的各个对象之间的关系，使问题易于求解。新课程标准提出：数学教案要紧密联系生活实际，注重探索和合作，由具体到抽象。但绝不是只要让学生直观感受,满足于具体的现象而忽视问题的本质。对于抽象的关系,可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳,逐步提高他们的思维的能力。0YujCfmUCw4.极端化原则在数
10、学中有很多“极端”情况。例如：点是圆的半径为零的极端情况；切线是割线的极端情况等。在解决有些数学问题时，常能从对问题的“极端”情况的考察即对特例的分析）中获得有益的启示。所谓极端化原则就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。这也是我们常说的从一般到特殊再到一般。eUts8ZQVRd例2.两人轮流在一张圆桌上摆放大小相同的硬币，每次只能平放一个，不能重叠，在桌上放下最后一枚硬币者为游戏的胜利者。试问：先放者取胜，还是后放者取胜？sQsAEJkW5T分析：我们先考虑极端情形。假设桌面恰好与硬币一样大，则先摆者必胜，只要将硬币摆放在桌子的中心即可。从极端情形
11、中我们可以获得启示：先摆的人可以把第一枚硬币占据桌子的中心，由于桌面是中心对称，以后不论对方把硬币放于何处，先摆的人总把硬币摆在与其成中心对称的位置，故先摆者必胜。GMsIasNXkA5.和谐化原则所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称。和谐化原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。TIrRGchYzg（3） 特殊化与一般化方法归纳法）1 特殊化方法对于一个具有一般对象的问题，从简单情况或特殊对象入手，寻求思路和方法予以解决，这种方法称之为特殊化方法。7EqZcWLZNX对于一个一般的、抽象性问题，其
12、中的对象、因素、概念、结构比较复杂，它们的关系比较隐蔽，由条件到达结论的途径不清晰。这时，往往从特殊情况入手，用特殊化的方法探索解题的思路和途径，并选择突破口，进而解决一般问题。lzq7IGf02E特殊化方法不仅是解题，检验问题的重要方法，而且还是探索规律进行创造性思维的有效工具，历来被数学家所推崇。zvpgeqJ1hk2.一般化方法对于一个不易解决的特殊命题，将之一般化，即从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者考虑一个较小集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大集合，然后先解决一般情形的技巧、方法或者结果应用到特殊命题上，最后获得特殊命题解决，这种思想方法称之为一般化方法。Nrpo
13、Jac3v1利用一般化方法解决问题通常有三种类型：1. 直接把特殊命题扩广为包含这一特殊情况的一般命题，利用一般命题的现成结论直接还原回去就得到解答；2. 做出拓广后，利用一般命题的性质去解决特殊问题3. 做出拓广后，利用一般问题的解答思路去探讨解决特殊问题的思路。特殊和一般是辩证统一的。从一般到特殊的演绎法，从一般到特殊的归纳法以及从特殊到特殊的类比法等，运用巧了，能获得新的成果，乃至完成重要的发现。1nowfTG4KI这里谈及的归纳法和类比法是数学方法论中最基本的方法。其作用如图所示：从具体问题具体材料出发实验类比归纳联想推广预见形成普遍问题证明4）数形结合方法所谓数形结合，就是根据数与形
14、之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：1）实数与数轴上的点的对应关系；2）函数与图象的对应关系；3）曲线与方程的对应关系；4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。fjnFLDa5Zo 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。 tfnNhnE6e5 一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Ven
15、n图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 HbmVN777sL二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 V7l4jRB8Hs三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 83lcPA59W9四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 mZkklkzaaP五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 AVktR43bpw六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的
