场波教案静电场

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1、6 静电场的边界条件 由于媒质的特性不同 引起场量在两种媒质的交界面 上发生突变 这种变化规律称为静电场的边界条件 通常分别讨论边界 上场量的切向分量 和法向分量的变化 规律 1 2 en et n normal t tangential E2 E1 1 3 2 4 l h 1 2 et 围绕某点且紧贴边界作一个有 向矩形闭合曲线 其长度为 l 高 度为 h 则电场强度沿该矩形曲 线的环量为 为了求出边界上的场量关系 必须令 h 0 则线积分 电场强度的切向分量 为了求出边界上某点的场量关系 必须令 l 足够短 则 式中E1t 和 E2t 分别表示介质 和 中电场强度与边界平 行的切向分量 在

2、两种介质形成的边界上 两侧的电场强度的切向分量 相等 或者说 电场强度的切向分量是连续的 对于各向同性的线性介质 得 此式表明 在两种各向同性的线性介质形成的边界上 电通密度的切向分量是不连续的 h S 在边界上围绕某点作一个圆柱面 其高度为 h 端面为 S 那么 根据介质中的高斯定律 D2 D1 令 h 0 则通过侧面的通量为零 又考虑到 S 必 须足够小 则 式中D1n 及 D2n 分别代表对应介质中电通密度与边界垂直的 法线分量 边界法线的方向 en 规定为由介质 指向介质 1 2 en 电通密度的法向分量 得 s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度 在两种介质形 成的边界上通常不可能存

3、在表面自由电荷 因此 在两种介质边界上电通密度的法向分量相等 或者说 电通密度的法向分量是连续的 对于各向同性的线性介质 表明 在两种各向同性的线性介质形成的边界上 电场 强度的法向分量不连续的 两式相除 描述了两种不同介质分界面上 场量所遵循的物理条件 称为 静电场的折射定律 7 导体和介质交界面上的边界条件 考虑到导体中不存在静电场 因而电场强度和电通密 度均为零 为导体表面存在的自由电荷面密度 说明介质中与导体表面相邻处的电场强度和电通密 度都垂直于导体表面 电位的边界条件 两种介质分界面两侧 电位必须连续 否则将意味着 无限大的电场强度 在物理上不可能 即电位连续 同理 导体与介质分界

4、面的边界条件可以描述为 E2 E1 1 2 et 1 2 en D2 D1 介质 E D 导体 en 边界条件 静电屏蔽 E 0 E 0 E 0 E 0 例 已知半径为r1 的导体球携带的正电量为q 该导体球被 内半径为 r2 的导体球壳所包围 球与球壳之间填充介质 其 介电常数为 1 球壳的外半径为 r3 球壳的外表面敷有一层 介质 该层介质的外半径为r4 介电常数为 2 外部区域为真 空 如左下图示 试求 各区域中的电场强度 各个表面上的自由电荷 r1 r2 r3 r4 0 2 1 解 由于结构为球对称 场也是球 对称的 应用高斯定律求解十分方 便 在 r r1及 r2 r r3 区域中

5、E 0 r1 r2 r3 r4 0 2 1 在 r1 r r2 区域中 由 得 同理 在 r3 r r4 区域中 求得 根据 可以求得各个表面上的自由电荷 面密度为 r1 r2 r3 r4 0 2 1 r r1 r r4 r r2 r r3 例 两块导电平板平行放置 其间填充厚度分别为d1 d2的 两层电介质 相对介电常数分别为 和 如图所示 两导电板间的电压为U 忽略边缘效应 求它们之间电场 强度及电荷分布 解 忽略边缘效应 近似认为导体板表面的电荷是均匀 分布的 这样在两种介质中的电场都是均匀的 设两种介质中的电场强度分别为 E1和E2 根据边界条件D1n D2n 得 又由 得 导体板表面

6、的电荷密度为 8 静电场的边值问题 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的 边值问题 对于线性各向同性的均匀介质 有源区中的电位满足 泊松方程 在无源区 电位满足拉普拉斯方程 数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性 静电场与时间无关 因此电位所满足的泊松方程及拉 普拉斯方程的解仅决定于边界条件 定解条件 初始条件 边界条件 数学物理方程 此处边界条件实际上是指给定的边值 它不同于前面 描述静电场的边界上场量变化的边界条件 边界条件有三种类型 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值 这种边值问题又称为诺依曼问题 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一 部分边界上物

7、理量的法向导数值 这种边界条件又称 为混合边界条件 第一类边界条件给定的是边界上的物理量 这种边值 问题又称为狄里赫利问题 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到 证明 惟一性 是指在给定的定解条件下所求得的解是否是 惟一的 稳定性 是指当定解条件发生微小变化时 所求得的 解是否变化很大 存在 是指在给定的定解条件下 方程是否有解 静电场是客观存在的 因此电位微分方程解的存在确 信无疑 可以证明电位微分方程解具有惟一性 解的存在 稳定及惟一性问题 若静电场的边界为导体 此时给定导体上的电位就 是第一类边界 已知 对于导体边界 当边界上的电位 或电位的法 向导数给定时 或导体表面电荷给

8、定时 空间的静电 场即被惟一地确定 这个结论称为静电场惟一性定理 表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值 若给定 导体表面上的电荷量就是第二类边界 静电场的边值问题 的求解方法 解析法 直接积分求解泊松方程 拉普拉斯方程 近似法 利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程 间接法 镜像法 数值解法 有限差分法 有限元法等 例 y x ll0 解 在 l x l范围内 电位 满足泊松方程 空间电荷区如图所示 在 l 0区域内为负电荷 在0 l区域内为正电荷 且电荷分布函数为 Kqx x范围为 l x l K为比例常数 取x 0为电位参考 点 在x l处电场为零 求在 l x l范围内的电位分 布和电场分

9、布 为材料的介电常数 从图可以看出 电位函 数 是x的函数 对上式进行积分 利用边界条件确定积分常数 由 时 由 在 处电场为零 可知 即 例 已知同轴线的内导体半径为a 电位为V 外导体接地 其内半径为b 试求内外导体之间的电位分布函数以及电场 强度 解 选用圆柱坐标系 由于场量仅 与坐标 r 有关 因此 电位所满足的拉 普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式只 剩下包含变量r 的一项 即电位微分方 程为 求得 V b a O 利用边界条件 求得 最后求得 例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中 电荷 体密度为 试用解微分方程的方法求球体内 外的电位 及电场 解 采用球坐标系 分区域建立方

10、程 积分之 得通解 体电荷分布的球形域电场 边界条件 电位参考点 解得 电位 电场强度 球坐标梯度公式 对于一维场 场量仅仅是一个坐标变量的函数 只要 对二阶常系数微分方程积分两次 得到通解 然后利用边界 条件求得积分常数 得到电位的解 再由 得到电 场强度E的分布 直接积分法 1 根据电荷分布列出相应的电位微分方程 有源区 泊松方程 无源区 拉普拉斯方程 2 分析物体形状对称性 选择合适的坐标系 列出含未知数的电位微分方程的通解 3 根据定解条件 由通解求出特解 1 边界条件 2 边值关系 3 位函数性质 4 根据结果写出电位方程 5 有关物理量的计算 由前例可见 为了利用给定的边界条件以便

11、确定求解 过程中出现的积分常数 选择适当的坐标系是非常重要的 若电位函数仅与一个坐标变量 有关 三维拉普拉斯方 程简化为一维微分方程 因而可采用直接积分方法求解这 类边值问题 若静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关 为了求 解三维拉普拉斯方程 一种有效的方法就是分离变量法 分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简 化为三个独立的常微分方程 从而使求解过程比较简便 分离变量法基本思想 方 式 所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标 面重合 把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积 其中 每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数 代入偏微分方程进行变量分离 将原偏微分方程分 离为几个常微分方

12、程 分别求解这些常微分方程 并利用场域及边界条件 确定其中的待定常数 从而得到位函数的解 应 用 求解二维拉普拉斯方程的边界问题 在直角坐标系中 拉普拉斯方程展开式为 令 式中的左边各项仅与一个变量有关 因此 将上式对变 量 x 求导 第二项及第三项均为零 求得第一项对 x 的导数为零 说明了第一项等于常数 代入上式 两边再除以 9 直角坐标系中的分离变量法 同理 再分别对变量 y 及 z 求导 得知第二项及第 三项也分别等于常数 令各项的常数分别为 式中 kx ky kz 称为分离常数 它们可以是实数 或虚数 三个分离常数不是独立的 必须满足下列方 程 经过变量分离后 三维偏微分方程式被简化

13、为三个一维 常微分方程 三个常微分方程具有同一结构 它们解的 形式一定相同 或者 式中 A B C D为待定常数 当kx为实数时 含变量 x 的常微分方程的通解为 当kx为虚数时 令 则上述通解变为 或者 含变量 y或 z 的常微分方程的解完全相同 解中待定常数也取决于给定的边界条件 解的形式的选择决取于给定的边界条件 这些解的线性组合仍然是方程的解 通常为了满足给 定的边界条件 必须取其线性组合作为方程的解 例 两个相互平行的半无限大接地导体平面 间距为 d 其有限端被电位为 0 的导电平面封闭 且与无限大接 地导体平面绝缘 如图所示 试求三个导体平面形成的槽 中电位分布 O d x y 0

14、 0 0 解 选取直角坐标系 由于导电平面沿 z 轴无限延伸 槽中电位分布函数一定与 z 无关 因此 这是一个 二维场的问题 电位所满足的拉普拉斯方程变为 应用分离变量法 令 根据题意 槽中电位应满足的边界条件为 为了满足 及 边界条件 应选 Y y 的解为 因为 y 0 时 电位 0 因此上式中常数 B 0 为了 满足边界条件 分离常数 ky 应为 求得 已知 求得 可见 分离常数 kx 为虚数 故 X x 的解应为 因为 x 时 电位 0 因此 式中常数 C 0 即 那么 式中常数 C AD 由边界条件获知 当 x 0 时 电位 0 代入上式 得 上式右端为变量 但左端为常量 因此不能成立

15、 这就 表明此式不能满足给定的边界条件 因此 必须取上式 的和式作为电位方程的解 即 为了满足 x 0 0 边界条件 由上式得 上式右端为傅里叶级数 利用傅里叶级数的正交性 可以求出系数Cn为 最后求得槽中电位分布函数为 式中 0 d x y 0 0 0 电场线等位面 电场线及等位面 分布如右图示 10 镜像法 实质 是以一个或几个等效电荷代替边界的影响 将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由 空间 从而使计算过程大为简化 这些等效电荷通常处于镜像位置 因此称为镜像电荷 而这种方法称为镜像法 依据 惟一性定理 因此 等效电荷的引入必须维 持原来的边界条件不变 从而保证原来区域中静电场

16、没有改变 这是确定等效电荷的大小及其位置的依据 关键 确定镜像电荷的大小及其位置 局限性 仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的 电荷才有可能确定其镜像电荷 1 点电荷与无限大的导体平面 介质 导体 q r P 介质 q r P h h 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响 使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间 则空间 任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生 即 考虑到无限大导体平面的电位为零 求得 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极 子的上半部分完全相同 由此可见 电场线处处垂直于导体平面 而零电位 面与导体表面吻合 电场线 等位线 z 方向指向地面 整个地面上感应电荷的总量为 例 求空气中一个点电荷q 在地引起的感应电荷分布情况 解 设点电荷q离地面高度为h 则 图 点电荷q在地面引 起的感应电荷的分布 电荷守恒 镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷 代替导体表面上异性的感应电荷的作用 根据电荷守恒原 理 镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量 半空间等效 上述等效性仅对于导体平面的上半空间 成立 因为在上半空间中 源及边界条件未变 位于无限大的导体平