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1、三角函数的性质及其应用【考纲要求】1、了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数，对函数图象变化的影响.2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.【知识网络】图象的作法三角函数的性质及其应用图象的性质【考点梳理】考点一、函数(,)的图象的作法1.五点作图法：作的简图时，常常用五点法，五点的取法是设，由取0、来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。2图象变换法：（1）振幅变换:把的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0)或向右(1)或伸长(01)横缩(1)”。要点诠释：由的图象利用图象变换作函数的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同
2、时，原图象沿x轴的伸缩量有区别.考点二、的解析式1.的解析式(, )，表示一个振动量时，叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，时的相位称为初相.2. 根据图象求的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点.求解步骤是先由图象求出与，再由算出，然后将第一零点代入求出.要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算.考点三、函数(,)的性质1. 定义域:,值域:y-A,A.2周期性:3. 奇偶性:时为偶函数；时为奇函数，.4单调性:单调增区间: ,单调减区间: ,5. 对称性:对称中心(,0)，；对称轴x=，6最值:当即时，y取最大值A当即时，y取最小值-A().要点
3、诠释：求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为，要特别注意、的正负，再把看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。【典型例题】类型一、求函数(,)的单调区间例1.求函数的单调递减区间.【解析】令即由此得2k2x2k，解得kxk+，由复合函数的单调性知，求数的单调递减区间，即是求=sin（2x）单调递减区间，令2k2x2k+，解得kxk+，取交集可得函数的单调递减区间为【总结升华】熟练掌握函
4、数的单调区间的确定及复合函数的单调区间的确定的方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解.举一反三：【变式1】求下列函数的单调递增区间.（1），（2），（3）.【解析】（1），递增区间为()；（2）画出的图象：可知增区间为()；（3）函数在区间()上是增函数.【变式2】函数的单调递减区间是（）A、 B、C、D、【答案】C【解析】函数，故本题即求的增区间由，可得C正确.类型二、三角函数的图象变换及其性质例2已知函数()求的最小正周期；()若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当，时，求的最大值
5、和最小值【解析】() ，所以函数的最小正周期为()依题意，因为，所以当，即时，取最大值；当，即时，取最小值【总结升华】本题的关键之处是正确写出函数图象平移后的解析式.举一反三：【变式1】由的图象得到的图象需要向平移 个单位.【答案】左，；【解析】，由的图象得到的图象需要向左平移个单位.【变式2】函数的图象可由的图像经过怎样的变换得到()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【答案】D【变式3】若函数的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的，再将图象沿轴向右平移个单位，则新图象对应的函数式是( )ABCD【答案】A例3.已知函数()的部分图像如图所示()求的解
6、析式； ()设，且，求的值【解析】()由图可得A1，又图像过()，且可得,()，.【总结升华】给出型的图象，求它的解析式，要从图象的升降找准位置.举一反三：【变式1】下图是函数（，）的图象则、的值是（）A， B，C， D，【答案】C【解析】由图象可得：，由得，由 ，得 （）由，得满足时，或由此得到，注意到，即，因此，这样就排除了，注意：因为函数是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、的值本题虽然给出了，的条件，但是仅靠(0，1 )、两点，不能完全确定、的值在确定的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用【变式2】已知函数的图象与直线yb(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8
7、，则的单调递增区间是()ABCD无法确定【答案】C【变式3】已知函数为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为()求函数f(x)的解析式；()若的值【解析】(1)为偶函数，恒成立其图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为，设其最小正周期为(2)原式又类型三：综合例4.已知函数.（1）当取何值时，取得最大值并求最大值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数的图象的对称中心，对称轴；要使函数成为偶函数，向左平移最少单位是多少；（4）求函数在上的图象与的围成的封闭图形的面积；【解析】（1） 当，即时，.（2）由得,即，单调增区间是.（3）函数的图象的对称中心，是图象与平衡位置所在直
8、线的交点；函数的图象的对称轴，是经过图象上表示最大、最小值的点且与轴垂直的直线.如图:令,则,即，对称中心坐标为，当取得最大，最小值时， ，即，对称轴方程为.当时，是轴右侧且离轴最近的对称轴，所以将原函数图象向左平移最少为时，图象满足关于轴对称，成为偶函数.（4）方法一：定积分法所求面积为:方法二：如上图，是矩形的一个对称中心，所以点与点间的图象将矩形的面积平分，同理，、间的图象将矩形的面积平分，故函数在上图象与围成封闭图形面积是矩形面积的，所求面积为.所以将原函数图象向左平移最少为时，图象满足关于轴对称，成为偶函数.【总结升华】图象的变换是三角函数的重点内容之一.函数的各种变换都是对自变量x或函数值y进行的变换.举一反三：【变式1】设函数，且的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为(1)求的值;(2)若，求的最小值【解析】(1)，(2)【变式2】函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.()求的值及函数的值域;()若,且,求的值.【解析】由已知可得()由已知可得:=3cosx+又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4所以,函数所以,函数()因为()有由x0所以,故
