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1、.专业.专注.第二章2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。设X=X1,X2，Xp是p维随机向量，称由它的q（0,x20 0 , 其他 x1-1212-2x1-1x2-212+ x2-2222=x1-1212-2x1-1x2-212+ x2-2222+2x1-1212-2x1-1212=x1-11-x2-222+（1-2）x1-1212所以指数部分变为-12x1-11-21-x2-21-222+x1-1212令t=x2-21-22-x1-11-21 dt=11-22dx2 fx1=-+fx1,x2dx2=1212(1-2)1/2exp-x1-12212-+exp(-12t2)11-22d
2、t=121exp-x1-12212 121exp-x1-12212 ， x10fx1= 0 ，其他同理， 122exp-x2-22222 ， x20fx2= 0 ，其他2.3 已知随机向量X=X1,X2的联合分布密度函数为fx1,x2=2d-cx1-a+b-ax2-c-2(x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2,其中,ax1b,cx2d。求：（1） 随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。 解：fx1=cdfx1,x2dx2=cd2d-cx1-a+b-ax2-c-2(x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2 dx2 =2d-cx1-a(b-a)2(d-c)2+b-a(b-a)2(
3、d-c)2cd2x2-cdx2-2x1-a(b-a)2(d-c)2cd2x2-cdx2=1b-a同理，fx2=abfx1,x2dx1=ab2d-cx1-a+b-ax2-c-2(x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2 dx1 =1d-c同理可得同理可得（2） 随机变量的协方差和相关系数。E(x1)= abx1fx1dx1=abx11b-adx1=b+a2E(x2)= cdx2fx2dx2=cdx21d-cdx2=d+c2E(x12)= abx12fx1dx1=abx121b-adx1=13b2+ab+a2E(x22)= cdx22fx2dx2=cdx221d-cdx2=13d2+dc+c
4、2D(x1)= E(x12)-E(x1)2=112(b-a)2D(x2)= E(x22)-E(x2)2=112(d-c)2Covx1,x2= E(x1x2)-E(x1)E(x2)E(x1x2)=abdx1cdx1x2 fx1,x2 dx2=162b+ad+c+162d+cb+a-192b+a(2d+c)Covx1,x2.=136a-bd-c=Covx1,x2D(x1)D(x2)=136a-bd-c112b-ad-c=-13（3） 判断是否独立。fx1 fx2=1(b-a)1(d-c)fx1,x2x1,x2不相互独立。2.4设随机向量X=X1,X2，Xp服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明的
5、分量是相互独立的随机变量。=11 22 ppij=0 , ij xi与xj不相关 又X=X1,X2，Xp服从正态分布xi与xj相互独立。（ij，i，j=1，2，p）2.5解： 依据题意，X= 570001540200162145012 27000144187503612000381 2190084500015283508 13200190210001381200026E(X)=1n=16x()=35650,12.33,17325,152.5D(X)= 1n=16(x-x)x-x = 16799000032416.67 32415.66710.8889 69768750-6140013925-2
6、9.833 6976875013925-614000-29.833 30478125-166562.5-166562.513912.583注：利用 , S 其中 在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：1. 选择菜单项AnalyzeDescriptive StatisticsDescriptives，打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。 图2.1 Descriptives对话框2. 单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返
7、回主对话框。 图2.2 Options子对话框3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。 表2.1 样本均值向量在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：1. 选择菜单项AnalyzeCorrelateBivariate，打开Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。 图2.3 Bivariate Correlations对话框2. 单击Options按钮，打开Options子对话框。选择Cross-prod
8、uct deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。 图2.4 Options子对话框3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。） 2.6均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？1，即是的无偏估计； ，即不是的无偏估计， 而，即是的无偏估计；2，分别是，的有效估计；3，
9、（或）分别是，的一致估计（相合估计）。 limnE(1n S）=limnE(1n-1 S）=2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量证明： EX=E1nX（）=1nEX（）=nn= DX=D1nX（）=1n2D(X（）)=1n2n=nXNP(, n)2.8 试证多元正态总体NP(, ) 的样本协差阵 1n-1S 为 的无偏估计。证明：E()=1nEi=1n(xi-x)xi-x =1nEi=1n(xi-x-xi-)-(x- =1nEi=1n(xi-)(xi-)-nx-x- =Ei=1n(V(xi)-nV(x)= 1n(n-n1n) =n-1nnn-1是的无偏估计，S=n 1n-1S 为 的无偏估
10、计2.9 设X1,X2,Xn 是从多元正态总体NP(, ) 中独立抽取的一个随机样本，试求样本协差阵1n-1S 的分布。解：，且相互独立，则样本离差阵，其中样本协差阵1n-1S的分布为Wp(1, )2.10 设 Xinip是来自NP(, )的数据阵，i=1,2, ,k（1）已知1=k= 且 1=k=，求和 的估计。（2）已知1=k=，求1，k 和 的估计。这道题我对自己的答案不是很确定。第三章3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：答： 第一，提出待检验的假设H0和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界 值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。均值向量的检验： 统计量 拒绝域均值向量的检验：在单一变量中当已知 当未知 （作为的估计量）一个正态总体协差阵已知 协差阵未知 （） 两个正态总体有共同已知协差阵 有共同未知协差阵 （其中 ）协差阵不等 协差阵不等 多个正态总体单因素方差 多因素方差 协差阵的检验检验 检验 统计量3.2 试述多元统计中霍特林T2分布和威尔克斯分布分别与一元统计中t分布和F分布的关系。答：（！）霍特林T2分布是t分布对于多元变量的推广。而若设，且与相互独
