激光原理与技术 原理部分 第6讲 高斯光束的传输变换 6 1 高斯光束的ABCD法则 前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q z 的复数表达形 式 q0是由边界条件求出的光束初始条件 将上式同前面得到 的光线矩阵比较 6 1 高斯光束的ABCD法则 按照光线矩阵规则 ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上 和输入平面上光线参数之间的关系 因此我们取 该式表示了类透镜介质中传播的高斯光束的传输变换规则 可以证明 高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则 则以规则 称为高斯光束q参数变换法则 简称ABCD法则 需要注意的是ABCD法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述 但是高斯光束的ABCD法则不同于光线传输的矩阵乘法 高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束 6 1 高斯光束的ABCD法则 高斯光束的特征参数 1 由 1 2 式可知 只 要确定了束腰的位置和半 径 0 就可以确定任何位 置的光束半径和等相位面 半径等参数 2 当确定了某一确定位置 z处的 z 和R z 后 也 可以通过 1 2 式求出 束腰位置及大小 6 1 高斯光束的ABCD法则 3 用q参数表示 由q参数的定义 可知q参数将R z 和 z 联系在 一起了 可以求得 令q0 q 0 则 通过这些公式 我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束 以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构 需要根据实际问题 来灵活选择使用哪种参数 6 2 高斯光束通过薄透镜的传输 普通球面波波前曲率半径的传播规律 当球面波通过焦距为F的薄透镜时 其波前 曲率半径满足 将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面 波的传播规律 6 2 高斯光束通过薄透镜的传输 高斯光束q参数的变换规律 高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀 曲率中心不断改变 的球面波 也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数 即q参 数 通过整理q的表达式可以得到 可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数为 其中q2 q z2 q1 q1 z1 分别为z1和z2面处的q参数 其中 6 2 高斯光束通过薄透镜的传输 透过薄透镜传播的高斯光束q参 数变换 由薄透镜性质可知 在紧靠薄透 镜的M1和M2两个面上的光斑大小 和强度分布是一样的 即 可以证明经过薄透镜变换后在像 方继续传输的光束仍为高斯光束 从q参数表达式以及1式可以得到 R2为等相位面曲率半径 由球面 波球率半径的变换公式可得 6 2 高斯光束通过薄透镜的传输 通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较 可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的 变换 高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径 R相同的作用 因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率 半径 高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用 光线矩阵表示出来 由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的 具体特征 而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描 述一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律 因此我们 将主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题 6 2 高斯光束通过薄透镜的传输 例 以焦距为f的薄透镜为例 薄透镜的光线矩阵为 则由ABCD法则可以得到 考虑到 代入到 1 式中 并且比较实部与虚部得到 上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同 这与薄透 镜的特性是一致的 第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满 足成像公式 即球面中心是关于该透镜的共轭像点 这与薄透镜对球面 波成像的规律是一致的 6 2 高斯光束通过薄透镜的传输 我们比较一下下面两个公式 由这两个公式我们可以看出高斯光束参数q z 与球面波曲 率半径R z 之间的相似性 称q z 为高斯光束的复曲率半 径 其表达式为 当 时 上式可以得出 而此时我们讨论的对 象已经从波动光学过渡到了几何光学 6 2 高斯光束在透镜波导中的传播 经过两个光学元件的高斯光束 设两个光学元件的光线矩阵为 入射高斯光束参数为q1 经 过第一个光学元件后有 经过第二个光学元件后 其中 其规律同光线传输规律相同 可以推广到任意个光学元件的传输情况 6 2 高斯光束在透镜波导中的传播 光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为 ABCD 那么经 过S个周期后 联系S 1面和第1面的光线矩阵是 其中 用数学归纳 法可以证明 6 2 高斯光束在透镜波导中的传播 高斯光束通过透镜波导的稳定性条件 由光束参数变换法则 要使得上式中qs 1为有限值 即光束约束在透镜波导内传播 就要求 为实 数 即 由此可得到光束稳定性条件 如果 为虚数 不妨设 ia 则 会随着S 的增加而增加 qs 1没有确定值 不稳定 习题 如图 假设一高斯光束垂直入射到折射率为n的介质块 上 试问 1 在左图情况下 出射光束发散角为多大 2 若将介质块的位置左移 使其左端面移至z l1处 右图 若介质块足够长 使光束的光腰位于介质块 内 此时束腰大小和位置是多少 。