《复合函数零点问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复合函数零点问题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复合函数零点问题 一 基础知识 1 复合函数定义 设 yf t tg x 且函数 g x的值域为 f t定义域的子集 那 么y通过t的联系而得到自变量x的函数 称y是x的复合函数 记为 yfg x 2 复合函数函数值计算的步骤 求 ygf x 函数值遵循 由内到外 的顺序 一层层 求出函数值 例如 已知 2 2 x f xg xxx 计算 2gf 解 2 224f 2412gfg 3 已知函数值求自变量的步骤 若已知函数值求x的解 则遵循 由外到内 的顺序 一层 层拆解直到求出x的值 例如 已知 2xf x 2 2g xxx 若 0gf x 求x 解 令 tf x 则 2 020g ttt 解
2、得0 2tt 当 0020 x tf x 则x 当 2222 x tf x 则1x 综上所述 1x 由上例可得 要想求出 0gf x 的根 则需要先将 f x视为整体 先求出 f x的 值 再求对应x的解 这种思路也用来解决复合函数零点问题 先回顾零点的定义 4 复合函数零点问题的特点 考虑关于x的方程 0gf x 根的个数 在解此类问题时 要分为两层来分析 外层是解关于g x 的方程 观察有几个 t g t 的值使得等式成立 内层 是结合着 f x t 求出每一个 f x t 被几个x对应 将x的个数汇总后即为 0gf x 的根的个数 例 1 关于x的方程 2 22 13120 xx 的不相
3、同实根的个数是 A 3 B 4 C 5 D 8 5 求解复合函数 ygf x 零点问题的技巧 1 作出 f xg x的图像 2 旋转外层函数的图像使外层函数 x 轴对应内层 y 轴 3 先估计关于 g t 0 的方程中解的个数 再根据个数与 f x t 的图像特点 分配每个 t 函数值 i f x被几个x所对应 从而确定 x 的个数 二 典型例题 例 2 设定义域为R的函数 1 1 1 1 1 x xf x x 若关于x的方程 2 0fxbf xc 由 3 个不同的解 123 x x x 则 222 123 xxx 例 3 已知函数 11 f xxx xx 关于x的方程 2 0fxa f xb
4、 a bR 恰有 6 个不同实数解 则a的取值范围是 例 4 已知定义在R上的奇函数 当0 x 时 1 21 02 1 2 2 2 x x f x f xx 则关于x的方程 2 610f xf x 的实数根个数为 A 6B 7C 8D 9 例 5 已知函数 2 43f xxx 若方程 2 0f xbf xc 恰有七个不相同的实 根 则实数b的取值范围是 A 2 0 B 2 1 C 0 1D 0 2 例 6 已知函数 x x f x e 若关于x的方 程 2 10fxmf xm 恰有 4 个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 A 1 22 e e B 1 1 e C 1 1 1 e D 1 e
5、 e 例 7 已知函数 2 32 2 1 1 0 231 31 0 xx f xxxg x xx 则方程 0gf xa a为正实数 的实数根最多有 个 例 8 已知函数 yf x 和 yg x 在 2 2 的图像如下 给出下列四个命题 1 方程 0fg x 有且只有 6 个根 2 方程 0gf x 有且只有 3 个根 3 方程 0ff x 有且只有 5 个根 4 方程 0g g x 有且只有 4 个根 则正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 作业 1 若函数 32 f xxaxbxc 有极值点 12 x x 且 11 f xx 则关于x的方程 2 320f xaf xb 的不同实根的个数是 A 3 B 4 C 5 D 6 2 已知函数 2 1 0 log 0 axx f x x x 则下列关于函数 1yffx 的零点个数判断正确 的是 A 当0a 时 有 4 个零点 当0a 时 有 1 个零点 B 当0a 时 有 3 个零点 当0a 时 有 2 个零点 C 无论a为何值 均有 2 个零点 D 无论a为何值 均有 4 个零点
