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1、下载可编辑2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.()A B C D2.设集合,若,则()A B C D3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(
2、)A B C D5.设,满足约束条件,则的最小值是()A B C D6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A12种 B18种 C24种 D36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩根据以上信息,则()A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的()A2 B3 C4 D59.若双曲线(,)的一
3、条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为()A2 B C D10.已知直三棱柱中,则异面直线与所成角的余弦值为()A B C D11.若是函数的极值点,则的极小值为()A. B. C. D.112.已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则14.函数()的最大值是15.等差数列的前项和为,则16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点若为的中点,则三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程
4、或演算步骤。第1721题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)的内角的对边分别为 ,已知(1)求 (2)若 , 面积为2,求18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)其频率分布直方图如下:(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;(2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量50kg箱产量
5、50kg旧养殖法新养殖法(3) 根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,E是PD的中点.(1)证明:直线平面PAB(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角M-AB-D的余弦值20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1) 求点P的轨迹方程;(2) 设点Q在直线x=-3上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F
6、.21.(12分)已知函数且.(1)求a;(2)证明:存在唯一的极大值点,且.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值23.选修4-5:不等式选讲(10分)已知,证明:(1);(2)2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学()试题答案一、选择题1.D 2.C 3.B 4.B 5
7、.A 6.D7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二、填空题13. 1.96 14. 1 15. 16. 6三、解答题17.解:(1)由题设及,故上式两边平方,整理得 解得 (2)由,故又由余弦定理及得所以b=218.解:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于”,表示事件“新养殖法的箱产量不低于” 由题意知旧养殖法的箱产量低于的频率为故的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于的频率为故的估计值为0.66因此,事件A的概率估计值为(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量箱产量旧养殖法6238新养殖法3466由于故有的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)因为新养殖法的箱产量频率
8、分布直方图中,箱产量低于的直方图面积为,箱产量低于的直方图面积为故新养殖法箱产量的中位数的估计值为19.解:(1)取中点,连结,因为为的中点,所以,由得,又所以四边形为平行四边形,又,故(2)由已知得,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则,,则因为BM与底面ABCD所成的角为45,而是底面ABCD的法向量,所以,即(x-1)+y-z=0又M在棱PC上,设由,得所以M,从而设是平面ABM的法向量,则所以可取m=(0,-,2).于是因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解(1)设P(x,y),M(x0,y0),设N(x0,0), 由得因为M(x
9、0,y0)在C上,所以因此点P的轨迹方程为(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则,由得,又由(1)知,故3+3m-tn=0所以,即又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.解:(1)的定义域为设,则等价于因为若a=1,则.当0x1时,单调递减;当x1时,0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故综上,a=1(2)由(1)知设当时,;当时,所以在单调递减,在单调递增又,所以在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当时,;当时,当时,.因为,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点由由得因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由得所以22.解:(1)设P的极坐标为,M的极坐标为,由题设知由得的极坐标方程因此的直角坐标方程为(2)设点B的极坐标为,由题设知,于是OAB面积当时,S取得最大值所以OAB面积的最大值为23.解:(1)(2)因为所以,因此a+b2.专业.整理.