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1、 1 函数 ABAx ByfBAB xyx fyyxy 映射定义 设 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 使对于集合 中的任意一个元素 在集合中都有唯一确定的元素 与之对应 那么就称对应 为从集合 到集合的一个映射 传统定义 如果在某变化中有两个变量并且对于 在某个范围内的每一个确定的值 定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应 那么 就是 的函数 记作 函数及其表示 函数 1212 12 fx a ba xxbfxfxfxa ba b fxfxfxa ba b a 近代定义 函数是从一个数集到另一个数集的映射 定义域 函数的三要素值域 对应法则 解析法 函数的表示方法列表法 图
2、象法 单调性 函数的基本性质 传统定义 在区间上 若如 则在上递增 是 递增区间 如 则在上递减 是的递减区间 导数定义 在区间 1 2 00 0 0 yfxIMx IfxM xIfxMMyfx bfxfxa ba bfx fxa ba b 最大值 设函数的定义域为 如果存在实数满足 对于任意的 都有 存在 使得 则称是函数的最大值 最值 最 上 若 则在上递增 是递增区间 如 则在上递减 是的递减区间 1 2 00 1 2 yfxINx IfxN xIfxNNyfx fxfxxDfx fxfxxDfx 小值 设函数的定义域为 如果存在实数满足 对于任意的 都有 存在 使得 则称是函数的最小值
3、 定义域 则叫做奇函数 其图象关于原点对称 奇偶性定义域 则叫做偶函数 其图 0 1 11 2 y fxfx TfxTfxT Tfx yy xa xyfx a a 象关于 轴对称 奇偶函数的定义域关于原点对称 周期性 在函数的定义域上恒有的常数 则叫做周期函数 为周期 的最小正值叫做的最小正周期 简称周期 描点连线法 列表 描点 连线 向左平移个单位 向右平移 个 平移变换 函数图象的画法 变换法 11 11 11 101 1 1 1 1 01 1 yy xa xyfx a bxx yb yy bfx bxx yb yy bfx xww wxwxyfwx yAA 单位 向上平移 个单位 向下平
4、移 个单位 横坐标变换 把各点的横坐标缩短 当时 或伸长 当时 到原来的倍 纵坐标不变 即 伸缩变换 纵坐标变换 把各点的纵坐标伸长 或缩短 到 1 22 1010 2 2 0000 22 1010 22 1010 2 00 11 11 2 00 22 1010 A yyAyfx x xxxxx xyyyfxx yyyyyy x xxxxx x xyfxx yyyy x xxx y yyyf yyyyyy 原来的倍 横坐标不变 即 关于点对称 关于直线对称 对称变换 关于直线对称 1 1 1 x x x y xyfx yy 关于直线对称 一 函数的定义域的常用求法 2 1 分式的分母不等于零
5、2 偶次方根的被开方数大于等于零 3 对数的真数大于零 4 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1 5 三角函数正切函数 tanyx中 2 xkkZ 余切函数cotyx中 6 如果函数是由实际意义确定的解析式 应 依据自变量的实际意义确定其取值范围 二 函数的解析式的常用求法 1 定义法 2 换元法 3 待定系数法 4 函数方程法 5 参数法 6 配方法 三 函数的值域的常用求法 1 换元法 2 配方法 3 判别式法 4 几何法 5 不等式法 6 单调性法 7 直接法 四 函数的最值的常用求法 1 配方法 2 换元法 3 不等式法 4 几何法 5 单调性法 五 函数单调性的常用结论 1 若
6、fxg x 均为某区间上的增 减 函数 则 fxg x 在这个区间上也为增 减 函数 2 若 fx为增 减 函数 则 fx为减 增 函数 3 若 fx与 gx的单调性相同 则 yfgx是增函数 若 fx与 gx的单调 性不同 则 yfgx是减函数 4 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 5 常用函数的单调性解答 比较大小 求值域 求最值 解不等式 证不等式 作函 数图象 六 函数奇偶性的常用结论 1 如果一个奇函数在0 x处有定义 则 0 0f 如果一个函数 yfx既是奇 函数又是偶函数 则 0fx 反之不成立 2 两个奇 偶 函数之和 差 为奇 偶 函数 之积 商
7、 为偶函数 3 一个奇函数与一个偶函数的积 商 为奇函数 4 两个函数 yfu和 ugx复合而成的函数 只要其中有一个是偶函数 那么 该复合函数就是偶函数 当两个函数都是奇函数时 该复合函数是奇函数 5 若 函 数 fx的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 则 fx可 以 表 示 为 11 22 fxfxfxfxfx 该式的特点是 右端为一个奇函数和 一个偶函数的和 3 0 0 0 0 01 1 lo mn ana nm n aa rsrs aaaarsQ rsrs aaarsQ rrs a bababrQ x yaaa x 根式 为根指数 为被开方数 分数指数幂 指数的运算 指数函数性质
8、定义 一般地把函数且叫做指数函数 指数函数 性质 见表 对数 基本初等函数 对数的运算 对数函数 g lo g loglo g lo gloglo g lo glo g 0 1 0 0 log lo g 01 1 log 0 1 0 log c a c NaN a MNMN aaa M MN aaa N n MnMaaMN aa yxaa a b bacacb a 为底数 为真数 性质 换底公式 定义 一般地把函数且叫做对数函数 对数函数 性质 见表 且 yxx 幂函数 定义 一般地 函数叫做幂函数 是自变量 是常数 性质 见表2 表 1 指数函数 0 1 x yaaa对数数函数 log0 1 a yxaa 4 定义域 xR0 x 值域0 yyR 图象 性质 过定点 0 1 过定点 1 0 减函数增函数减函数增函数 0 1 0 0 1 xy xy 时 时 0 0 1 0 1 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 abab ab ab 表 2 幂函数 yxR p q 00111 p q 为 奇 数 为 奇 数 奇函数 p q 为 奇 数 为 偶 数 p q 为 偶 数 为 奇 数 偶函数 第一象限 性质 减函数增函数过定点0 1
