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1、河南省鲁山县第一高级中学2020届高三数学上学期期末考试试题 文一、单选题1已知命题,总有,则为A,使得 B,使得C,总有 D,总有2在一个棱长为的正方体的表面涂上颜色,将其分割成27个棱长为的小正方体,全部放入不透明的口袋中,搅拌均匀后,从中任取一个,取出的小正方体表面有三个面涂有颜色的概率是( )ABCD3函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图象,只需把的图象上所有的点( )A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度4执行如图所示的程序框图,若输出的值为2,则判断框中可以填入的条件是()An999Bn9999 Cn9999Dn9995. 某高校为调查
2、学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:临界值参考: (参考公式:,其中)参照附表,得到的正确结论是A在犯错误的概率不超过01%的前提下,认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”B在犯错误的概率不超过01%的前提下,认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”C有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”D有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”6在ABC中,已知向量与满足,且,则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等腰直角三角形7已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足
3、为,若直线的斜率为,则双曲线的离心率为()A2BCD38.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题:今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问:各得几何?其意思是:“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银 A. 两 B. 两 C. 两 D. 两9设,设函数,则当变化时,函数的零点个数可能是( )A.1个或2个 B.1个或3个 C.2个或3个 D.1个或2个或3个10小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风,他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的
4、奥妙:有、三个木桩,木桩上套有编号分别为、的六个圆环,规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩,且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况,现要将这六个圆环全部套到木桩上,则所需的最少次数为( )ABCD11已知定义在上的函数,其导函数为,若,且当时,则不等式的解集为A,BC,D12定义在上的函数若满足:对任意、,都有;对任意,都有,则称函数为“中心撇函数”,点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心撇函数”,且满足不等式,当时,的取值范围为( )ABCD2、 填空题13 已知复数,则14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的准线为l,直线l与双曲线的两条
5、渐近线分别交于A,B两点,则p的值为_15.在中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则的面积为_16如图,在边长为3正方体中,为的中点,点在正方体的表面上移动,且满足,当P在CC1上时,AP=_,点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是_. 三、解答题17已知向量,函数,且当,时,的最大值为.(1)求的值,并求的单调递减区间;(2)先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和.18已知函数,函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19在四棱锥中,,,
6、为中点,为中点,为中点,(1)求证: 平面;(2)证明:平面;(3)求三棱锥的体积.20已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点(异于左右顶点),椭圆C的左顶点为D,试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小,并说明理由.21已知函数.(1)若函数存在不小于的极小值,求实数的取值范围;(2)当时,若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.22已知曲线:和:,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.()求出,的普通方程.()若曲线上的点到曲线的距离等于为,求
7、的最大值并求出此时点的坐标;23已知函数.(I)当时,求不等式的解集;(II)若时,恒成立,求实数的取值范围.参考答案1-12 ABABA DADDD BA3、 填空题13.已知复数,则【答案】【解答】,14.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的准线为l,直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,则p的值为_【答案】【解答】解:抛物线的准线为l:,双曲线的两条渐近线方程为,可得,则,可得故答案为15.在中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知,且,则的面积为_【答案】【解答】解:在中,由余弦定理得,则,由正弦定理得,16如图,在边长为3正方体中,为的中点,点在正方体的表面上移动,且满
8、足,当P在CC1上时,AP=_,点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积是_. 【答案】,.【详解】取,的中点分别为,连结,由于,所以四点共面,且四边形为梯形,因为,所以面,因为点在正方体表面上移动,所以点的运动轨迹为梯形,如图所示:因为正方体的边长为3,所以当点P在CC1上时,点P为CC1的中点N,又,所以梯形为等腰梯形,所以。三、解答题17已知向量,函数,且当,时,的最大值为.(1)求的值,并求的单调递减区间;(2)先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和.【答案】(1),;(2).【详解】(1)函数,
9、得.即,由题意得,得所以,函数的单调减区间为.(2)由题意,又,得解得:或即或或故所有根之和为.18已知函数,函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】解:(1) ,由及得,则数列是首项,公差的等差数列,所以 (2)由(1)得 ,则19在四棱锥中,,,为中点,为中点,为中点,(1)求证: 平面;(2)证明:平面;(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)解析:(1)因为为的中点,为中点,则在中,平面, 平面, 则平面 20已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于.
10、(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点(异于左右顶点),椭圆C的左顶点为D,试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小,并说明理由.【答案】(1);(2).【详解】(1)设椭圆的标准方程为为,由题,.即,椭圆C的方程为.(2)直线AD与直线BD的斜率之积为定值,且定值为由题易知当直线AB的斜率不存在时,易求当直线AB的斜率存在时,可设直线AB的方程为,设联立可得,则故直线AD与直线BD的斜率之积为定值.21已知函数.(1)若函数存在不小于的极小值,求实数的取值范围;(2)当时,若对,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)函数的定义域
11、为,.当时,函数在区间上单调递减,此时,函数无极值;当时,令,得,又当时,;当时,.所以,函数在时取得极小值,且极小值为.令,即,得.综上所述,实数的取值范围为;(2)当时,问题等价于,记,由(1)知,在区间上单调递减,所以在区间上单调递增,所以,当时,由可知,所以成立;当时,设恒成立,所以在区间上单调递增,所以在区间上单调递增,所以.所以,函数在区间上单调递增,从而,命题成立.当时,显然在区间上单调递增,记,则,当时,所以,函数在区间上为增函数,即当时,.,由于,显然设,由可知在区间上单调递增所以在区间内,存在唯一的,使得,故当时,即当时,不符合题意,舍去.综上所述,实数的取值范围是.22已
12、知曲线:和:,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.()求出,的普通方程.()若曲线上的点到曲线的距离等于为,求的最大值并求出此时点的坐标;【答案】(),;()【详解】()则,又则()方法一:(利用椭圆的参数方程)设椭圆则点到曲线的距离:当此时,所以方法二:(利用平行相切)设联立方程组由,得则直线都和椭圆相切则即为直线的距离即此时,则,故点23已知函数.(I)当时,求不等式的解集;(II)若时,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(I);(II).【详解】(I)当时,当时,得,无实数解;当时,得所以;当时,得恒成立,得.综上,不等式的解集为.(II)时,恒成立,等价于在恒成立.等价于,即在恒成立.即时,因为时,所以,即实数的取值范围是.- 19 -