《2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形含答案(37页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数,它是描述周期现象的一个重要函数模型,可以加深对函数的概念和性质的理解和运用其主要内容包括:三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上,能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明;理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题;运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形重点考查相关的数学思想方法,如方程的思想、数形结合、换元法等 31 三角函数的概念【知识要点】1角扩充到任意角:通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数
2、为自变量的函数2弧度rad以及度与弧度的互化:3三角函数的定义:在平面直角坐标系中,任意角a 的顶点在原点,始边在x轴正半轴上,终边上任意一点P(x,y),OPr(r0),则 4三角函数的定义域与值域:函数定义域值域ysinxR1,1ycosxR1,1ytanxR5三角函数线:正弦线,余弦线,正切线 6同角三角函数基本关系式:7诱导公式:任意角a 的三角函数与角等的三角函数之间的关系,可以统一为“ka ”形式,记忆规律为“将a 看作锐角,符号看象限,(函数名)奇变偶不变”【复习要求】1会用弧度表示角的大小,能进行弧度制与角度制的互化;会表示终边相同的角;会象限角的表示方法2根据三角函数定义,熟
3、练掌握三角函数在各个象限中的符号,牢记特殊角的三角函数值,3会根据三角函数定义,求任意角的三个三角函数值4理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式【例题分析】例1 (1)已知角a 的终边经过点A(1,2),求sina ,cosa ,tana 的值;(2)设角a 的终边上一点,且,求y的值和tana 解:(1),所以(2)得,解得【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握,同时应关注其中变量的符号例2 (1)判断下列各式的符号:sin330cos(260)tan225 sin(3)cos4(2)已知cosq 0且tanq 0,那么角q 是( )A第一象限角B第二象限角C第三象限角D
4、第四象限角(3)已知a 是第二象限角,求角的终边所处的位置解:如图311,图312(1)330是第四象限角,sin3300;260是第二象限角,cos(260)0;225是第三象限角,tan2250;所以sin330cos(260)tan2250.3是第三象限角,sin(3)0;5是第四象限角,cos50,所以sin(3)cos50或:3357.3171.9,为第三象限角;5557.3286.5,是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断,图311,图312两个坐标系应予以重视 (2)cosq 0,所以角q 终边在第二或第三象限或在x轴负半轴上t
5、anq 0,所以角q 终边在第二或第四象限中,所以角q 终边在第二象限中,选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握,(3)分析:容易误认为是第一象限角,其错误原因为认为第二象限角的范围是a 是第二象限角,所以2kpa 2kpp,(kZ),所以如下图313,可得是第一象限或第三象限角,又4kpp2a 4kp2p,2a 是第三象限或第四象限角或终边落在y轴负半轴的角【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角,结合图311,图312,从角度制和弧度制两个角度处理;(2)遇到弧度制问题也可以由57.3化为角度处理;(3)在考虑角的终边位置时,应注意考虑终边在坐标轴上的情况
6、(4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练如第一象限角:,注意防止的错误写法例3 (1)已知tana 3,且a 为第三象限角,求sina ,cosa 的值;(2)已知,求sina tana 的值;(3)已知tana 2,求值:;sin2a sina cosa 解:(1)因为a 为第三象限角,所以sina 0,cosa 0,得到(2)因为,且不等于1,所以a 为第二或第三象限角,当a 为第二象限角时,sina 0,所以当a 为第三象限角时,sina 0,所以综上所述:当a 为第二象限角时,当a 为第三象限角时,【评析】已知一个角的某一个三角函数值,求其余的三角函数值的步骤:(1)先定所给角的范围
7、:根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式,求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号)(3)当角的范围不确定时,应对角的范围进行分类讨论(3)(法一):因为tana 2,所以原式,原式(2cosa )2(2cosa )cosa 2cos2a ,因为,得到,所以(法二):原式原式【评析】已知一个角的正切值,求含正弦、余弦的齐次式的值:(1)可以利用将切化弦,使得问题得以解决;(2)1的灵活运用,也可以利用sin2a cos2a 1,将弦化为切例4 求值:(1)tan2010_; (2)_;(3)解:(1)tan2010tan(1800210)tan210tan(1803
8、0)(2)或:【评析】“将a 看做锐角,符号看象限,(函数名)奇变偶不变”,可以看出是的2倍(偶数倍),借助图312看出为第二象限角,正弦值为正(3)原式【分析】,将a 看做锐角,借助图312看出为第三象限角,正弦值为负,的3倍(奇数倍),改变函数名,变为余弦,所以可得,同理可得,所以原式.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律,对于“将a 看做锐角,符号看象限,(函数名)奇变偶不变”要灵活运用,否则容易陷入公式的包围,给诱导公式的应用带来麻烦例5 已知角a 的终边经过点,则a 的值为( )ABCD解:因为,所以点在第二象限中,由三角函数定义得,因为角a 的终边在第二象限,所以,所以,选D例6
9、化简下列各式:(1)若q 为第四象限角,化简 (2)化简(3)化简解:(1)原式,因为q 为第四象限角,所以cosq 0,原式,(2)原式当q 为第二、三象限角或终边在x轴负半轴上时,cosq 0,所以原式,当q 为第一、四象限角或终边在x轴正半轴上时,cosq 0,所以原式.(3)原式.4弧度属于第三象限角,所以sin40,cos40,所以原式(sin4cos4)sin4cos4【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法:(1)函数名称有弦有切:切化弦;(2)分式化简:分式化整式;(3)根式化简:无理化有理(被开方式凑平方),运用,注意对符号的分析讨论;(4)注意公式(sina co
10、sa )212sina cosa 1sin2a 的应用例7 扇形的周长为定值L,问它的圆心角q (0q p)取何值时,扇形的面积S最大?并求出最大值解:设扇形的半径为,则周长Lrq 2r(0q p)所以因为,当且仅当,即q 2(0,p)时等号成立此时,所以,当q 2时,S的最大值为.练习31一、选择题1已知,角a 终边上一点P(2,t),则t的值为( )ABCD2“tana 1”是“”的( )A充分而不必要条件B必要不而充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知点P(sina cosa ,tana )在第一象限,则在0,2p上角a 的取值范围是( )ABCD4化简( )Asin10cos1
11、0Bsin10cos10Ccos10sin10Dsin10cos10二、填空题5已知角a ,b 满足关系,则a b 的取值范围是_6扇形的周长为16,圆心角为2弧度,则扇形的面积为_7若,则tan(pa )_8已知:,则cosa sina _三、解答题9已知tana 2,且cos(pa )0,求(1)sina cosa 的值 (2)的值10已知,求值:(1); (2)cos2a 2sina cosa 11化简32 三角变换【知识要点】1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(a b )sina cosb cosa sinb ;sin(a b )sina cosb cosa sinb ;cos(
12、a b )cosa cosb sina sinb ;cos(a b )cosa cosb sina sinb ;2正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2a 2sina cosa :cos2a cos2a sin2a 12sin2a 2cos2a 1;【复习要求】1牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用;2掌握三角变换的通法和一般规律;3熟练掌握三角函数求值问题【例题分析】例1 (1)求值sin75_;(2)设,则_;(3)已知角的终边经过点(1,2),则的值为_;(4)求值_解:(1)(2)因为,(3)由三角函数定义得,所以.(4)【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌
13、握,灵活运用,这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心注意和运用例2 求值:(1)_;(2)cos43cos77sin43cos167_;(3)_解:(1)原式.【评析】辅助角公式:应熟练掌握,另外本题还可变形为(2)分析所给的角有如下关系:7743120,1679077,原式cos43cos77sin43cos(9077)cos43cos77sin43sin77cos(4377)cos120(3)分析所给的角有如下关系:372360,函数名均为正切,而且出现两角正切的和tanatanb 与两角正切的积tana tanb ,所有均指向公式【评析】三角变换的一般规律:看角的关系、看函数名称、看运算结构以上题目是给角求值问题,应首看角的关系:先从所给角的关系入手,观察所给角的和、差、倍是否为特殊角,然后看包含的函数名称,以及所给三角式的结构,结合三角公式,找到题目的突破口公式的变形tana tanb tan(a b )(1tana tanb )应予以灵活运用例3 ,则tan2a _;(2)已知,求的值解:(1)分析所给的两个已知角a