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1、专题层级快练(十八)1(2019河北保定模拟)已知f(x)，则()Af(2)f(e)f(3)Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2)答案D解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)，令f(x)0，得xe.所以当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(e，)时，f(x)f(3)f(2)故选D.2若0x1x2lnx2lnx1 Bex2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2答案C解析令f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上单调递减，因为0x1x21，所以f(x2)f(x1)，即x1ex2，故选C.3(2019山东师大
2、附中模拟)设函数f(x)e2xalnx.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.答案(1)a0时，f(x)存在唯一零点(2)证明略解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0，故当a0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(
3、x0，)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a0时，f(x)2aaln.4(2019贵州适应性考试)已知函数f(x)xlnxax，aR，函数f(x)的图像在x1处的切线与直线x2y10垂直(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；(2)求证：exf(x)答案(1)单调递增区间为(e2，)，单调递减区间为(0，e2)(2)证明略解析(1)由题易知，f(x)lnx1a，x0，且f(x)的图像在x1处的切线的斜率k2，所以f(1)ln11a2，所以
4、a1.所以f(x)lnx2，当xe2时，f(x)0，当0xe2时，f(x)0，因为g(x)ex在(0，)上单调递增，且g(1)e10，g()e20，所以g(x)在(，1)上存在唯一的零点t，使得g(t)et0，即et(t1)当0xt时，g(x)t时，g(x)g(t)0，所以g(x)在(0，t)上单调递减，在(t，)上单调递增，所以x0时，g(x)g(t)etlnt2ln2t2220，又t0，即exf(x)5(2019沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1.答案(1)单调递减区间为(，ln2)
5、，单调递增区间为(ln2，)；极小值2(1ln2a)无极大值(2)略解析(1)由f(x)ex2x2a，xR，得f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)2(1ln2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)无极大值(2)设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，
6、都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)又g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.6已知函数f(x)alnx，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2.(1)求a，b的值；(2)当x0且x1时，求证：f(x).答案(1)ab1(2)证明略解析(1)函数f(x)alnx的导数为f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2，可得f(1)2b2，f(1)ab0，解得ab1.(2)证明：当x1时，f(x)，即为lnx1lnx，即x2lnx0.当0x，即为x2lnx1时，
7、g(x)g(1)0，即有f(x).当0x1时，g(x).综上可得，当x0且x1时，f(x)都成立7(2019银川调研)已知函数f(x)lnxax2x，aR.(1)令g(x)f(x)(ax1)，讨论g(x)的单调区间；(2)若a2，正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20，证明：x1x2.审题(1)证明x1x2等价于求x1x2的范围(2)将f(x1)f(x2)x1x20具体化，配方得x1x2的方程(x1x2)2(x1x2)x1x2lnx1x2.(3)消元，消去x1x2得关于x1x2的不等式(4)解不等式得x1x2的范围答案(1)略(2)证明略解析(1)当a0时，函数单调递增区间为(0，)，无递减区间；当a0时，函数单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，)(2)当a2时，f(x)lnxx2x，x0，由f(x1)f(x2)x1x20可得x1x2lnx1x2x12x1x22x20，即(x1x2)2(x1x2)x1x2lnx1x2，令tx1x2，(t)tlnt，则(t)1，则(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以 (t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，又由x10，x20可知x1x20，故x1x2.
