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1、1 第四章 圆 一 知识回顾 圆的周长 C 2 r 或 C d 圆的面积 S r 2 圆环面积计算方法 S R 2 r 2或 S R 2 r 2 R 是大圆半径 r 是小圆半径 二 知识要点 一 圆的概念 集合形式的概念 1 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 2 圆的外部 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 3 圆的内部 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念 1 圆 到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心 定长为半径的圆 固定的端点 O为圆心 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫直径 圆上任意两点之间 的部分叫做圆弧 简称弧 2 垂直平分线
2、到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 3 角的平分线 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 4 到直线的距离相等的点的轨迹是 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线 5 到两条平行线距离相等的点的轨迹是 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直 线 二 点与圆的位置关系 1 点在圆内dr点C在圆内 2 点在圆上dr点B在圆上 3 点在圆外dr点A在圆外 三 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相离dr无交点 2 直线与圆相切dr有一个交点 3 直线与圆相交dr有两个交点 四 圆与圆的位置关系 d r r d d r r d d C B A O 2 外离 图
3、1 无交点dRr 外切 图 2 有一个交点dRr 相交 图 3 有两个交点RrdRr 内切 图 4 有一个交点dRr 内含 图 5 无交点dRr 五 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共5 个结论中 只要知道其中2 个即可推出 其它 3 个结论 即 AB是直径 ABCD CEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出
4、其他3 个结论 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 O中 AB CD 弧AC弧BD 六 圆心角定理 顶点到圆心的角 叫圆心角 圆心角定理 同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对的弧相等 弦心距相等 此 定理也称 1 推 3 定理 即上述四个结论中 图 3 rR d 图 1 r R d 图 2 r R d 图4 r R d 图 5 r R d O E DC B A O C D A B 3 只要知道其中的1 个相等 则可以推出其它的3 个结论 即 AOBDOE ABDE OCOF 弧BA弧BD 七 圆周角定理 顶点在圆上 并且两边都与圆相交的角 叫圆周角 1 圆周角定理 同弧所对的
5、圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即 AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对 的弧是等弧 即 在 O中 C D都是所对的圆周角 CD 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧是半圆 所对的弦是直径 即 在 O中 AB是直径或 90C 90C AB是直径 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三 角形 即 在 ABC中 OCOAOB ABC是直角三角形或90C 注 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一
6、半的逆定 理 八 圆内接四边形 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 外角等于它的内对角 F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O 4 即 在 O中 四边形ABCD是内接四边形 180CBAD 180BD DAEC 九 切线的性质与判定定理 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 MNOA且MN过半径OA外端 MN是 O的切线 2 性质定理 切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推
7、论也称二推一定理 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十 切线长定理 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角 即 PA PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 十一 圆幂定理 1 相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘积相等 即 在 O中 弦AB CD相交于点P PA PBPC PD 2 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线 段的比例中项 E D C B A NM A O P B A O P O D C B A OE D C B A 5 即 在 O中 直径ABCD
8、2 CEAE BE 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即 在 O中 PA是切线 PB是割线 2 PAPC PB 4 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等 如上图 即 在 O中 PB PE是割线 PC PBPD PE 十二 两圆公共弦定理 圆公共弦定理 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦 如图 12 OO 垂直平分AB 即 1 O 2 O 相交于A B两点 12 OO 垂直平分AB 十三 圆的公切线 两圆公切线长的计算公式 1 公切线长 12Rt O O C中 2222 112
9、2 ABCOOOCO 2 外公切线长 2 CO 是半径之差 内公切线长 2 CO 是半径之和 十四 圆内正多边形的计算 1 正三角形 在 O中 ABC是正三角形 有关计算在Rt BOD中进行 1 3 2ODBDOB 2 正四边形 同 理 四 边 形 的 有 关 计 算 在RtOAE中 进 行 1 1 2OEAE OA D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O E CB AD O 6 3 正六边形 同 理 六 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAB中 进 行 1 3 2A BO BO A 十五 扇形 圆柱和圆锥的相关计算公式 1 扇形 1 弧长公式 180 n R l 2 扇形面积公式 2 1 3602 n R SlR n 圆心角R 扇形多对应的圆的半径 l 扇形弧长S 扇形面积 2 圆柱 1 A圆柱侧面展开图 2SSS 侧表底 2 22rhr B圆柱的体积 2 Vr h 2 A圆锥侧面展开图 SSS 侧表底 2 Rrr B圆锥的体积 21 3 Vr h B A O Sl B A O 母线长 底面圆周长 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O
