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1、1 必修 5 知识点总结 1 正弦定理 在C中 a b c 分别为角 C的对边 R为C的外接圆的半径 则 有2 sinsinsin abc R C 2 正弦定理的变形公式 2sinaR 2sinbR 2sincRC sin 2 a R sin 2 b R sin 2 c C R sin sin sinabcC sinsinsinsinsinsin abcabc CC 正弦定理主要用来解决两类问题 1 已知两边和其中一边所对的角 求其余的量 2 已知两角和一边 求其余的量 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况 一解 两解 无解三中情况 如 在三角形ABC中 已知a b A A为锐角
2、 求B 具体的做法是 数形结合思想 画出图 法一 把a 扰着 C点旋转 看所得轨迹以AD有无交点 当无交点则B 无解 当有一个交点则B有一解 当有两个交点则B有两个解 法二 是算出CD bsinA 看 a 的情况 当 a bsinA 则 B无解 当 bsinAb 时 B有一解 注 当 A为钝角或是直角时以此类推既可 3 三角形面积公式 111 sinsinsin 222 C SbcabCac 4 余弦定理 在C中 有 222 2cosabcbc 222 2cosbacac 222 2coscababC 5 余弦定理的推论 222 cos 2 bca bc 222 cos 2 acb ac 22
3、2 cos 2 abc C ab 余弦定理主要解决的问题 1 已知两边和夹角 求其余的量 2 已知三边求角 6 如何判断三角形的形状 设 a b c 是C的角 C的对边 则 若 222 abc 则90C 若 222 abc 则90C 若 222 abc 则90C 正余弦定理的综合应用 如图所示 隔河看两目标A B D bsinA A b a C A B 2 但不能到达 在岸边选取相距3千米的 C D两点 并测得 ACB 75 O BCD 45 O ADC 30 O ADB 45 O A B C D在同一平面内 求两目标A B 之间的距离 本题解答过程略 附 三角形的五个 心 重心 三角形三条中
4、线交点 外心 三角形三边垂直平分线相交于一点 内心 三角形三内角的平分线相交于一点 垂心 三角形三边上的高相交于一点 7 数列 按照一定顺序排列着的一列数 8 数列的项 数列中的每一个数 9 有穷数列 项数有限的数列 10 无穷数列 项数无限的数列 11 递增数列 从第2 项起 每一项都不小于它的前一项的数列 即 an 1 an 12 递减数列 从第2 项起 每一项都不大于它的前一项的数列 即 an 10 d 0 时 满足 0 0 1m m a a 的项数 m使得 m s取最 大值 2 当 1 a 0 时 满足的项数m使得 m s取最小值 在解含绝对值的数列最值问题时 注意转化思 想的应用 附
5、 数列求和的常用方法 1 公式法 适用于等差 等比数列或可转化为等差 等比数列的数列 2 裂项相消法 适用于 1nna a c 其中 na 是各项不为0 的等差数列 c 为常数 部分无理数列 含阶乘 的数列等 例题 已知数列 an 的通项为an 1 1 n n 求这个数列的前n 项和 Sn 解 观察后发现 an 11 1nn 12 11111 1 2231 1 1 1 nn saaa nn n 3 错位相减法 适用于 nnb a其中 n a 是等差数列 n b是各项不为0 的等比数列 例题 已知数列 an 的通项公式为2 n n an 求这个数列的前n 项之和 n s 解 由题设得 123nn
6、 saaaa 123 1222322 n n 即 n s 123 1 2223 22 n n 7 把 式两边同乘2 后得 2 n s 2341 1 2223 22 n n 用 即 n s 123 1 2223 22 n n 2 n s 2341 1 2223 22 n n 得 231 1 11 1 1 22222 2 12 2 12 222 1 22 nn n n n nn n sn n n n 1 1 22 n n sn 4 倒序相加法 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法 5 常用结论 1 1 2 3 n 2 1 nn 2 1 3 5 2n 1 2 n 3 2 333 1 2 1 21n
7、nn 4 12 1 6 1 321 2222 nnnn5 1 11 1 1 nnnn 2 11 2 1 2 1 nnnn 6 11 11 qp qppqpq 31 0abab 0abab 0abab 32 不等式的性质 abba ab bcac abacbc 0ab cacbc 0a bcac bc ab cdacbd 0dacbd 0 1 nn ababnn 0 1 nn ababnn 8 33 一元二次不等式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2的不等式 34 含绝对值不等式 一元二次不等式的解法及延伸 1 整式不等式 高次不等式 的解法 穿根法 零点分段法 求解不等式 0 0 0
8、 0 2 2 1 10 aaxaxaxa n nnn 解法 将不等式化为a0 x x1 x x2 x xm 0 0 则找 线 在x 轴上方的区间 若不等式是 b 解的讨论 一元二次不等式ax 2 bx c 0 a 0 解的讨论 000 二次函数 cbxaxy 2 0a 的图象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxx 对于 a0 或 xg xf 0 xg xf 0 或 xg xf 0
9、 的形式 10 2 转化为整式不等式 组 0 0 0 0 0 xg xgxf xg xf xgxf xg xf 例题 求解不等式 1 1 x 解 略 例题 求不等式1 1 x x 的解集 3 含绝对值不等式的解法 基本形式 型如 x a a 0 的不等式的解集为 xaxa 型如 x a a 0 的不等式的解集为 xxaxa或 变型 0 axbc cxcaxbc型 的 不 等 式 的 解 集 可 以 由解得 其中 c ax b c 等价于不等 式组 axbc axbc 在解 c ax b0 的实根的分布常借助二次函数图像来分析 设 ax 2 bx c 0 的两根为 f x ax 2 bx c 那
10、么 若两根都大于0 即0 0 则有 0 0 0 若两根都小于0 即0 0 则有 0 0 2 0 0 b a f 对称轴 x 2 b a y o x 对称轴 x 2 b a o x y 9 2 11 2 5 fx 10 y 3 o 2 x 12 若两根有一根小于0 一根大于0 即0 则有 0 0f 若两根在两实数m n 之间 即mn 则有 0 2 0 0 b mn a fm fn 若两个根在三个实数之间 即 mtn 则有 0 0 0 fm f t fn 常由根的分布情况来求解出现在a b c 位置上的参数 例如 若方程 22 2 1 230 xmxmm有两个正实数根 求m 的取值范围 解 由 型
11、得 0 0 0 22 2 4 1 4 23 0 2 1 0 230 mmm m mm 1 1 1 3 m m mm或 3m 所以方程有两个正实数根时 3m 又如 方程 22 10 xxm的一根大于1 另一根小于1 求 m 的范围 解 因为有两个不同的根 所以由 0 1 0f 22 22 1 4 1 0 1110 m m 55 22 11 m m 11m 35 二元一次不等式 含有两个未知数 并且未知数的次数是1的不等式 o y x X 2 b a n x m o y X 2 b a y o m t n x 13 36 二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组 37 二元一次不等式
12、组 的解集 满足二元一次不等式组的x 和y的取值构成有序数对 x y 所有这 样的有序数对 x y 构成的集合 38 在平面直角坐标系中 已知直线0 xyC 坐标平面内的点 00 xy 若0 00 0 xyC 则点 00 xy在直线0 xyC的上方 若0 00 0 xyC 则点 00 xy在直线0 xyC的下方 39 在平面直角坐标系中 已知直线0 xyC 一 由B确定 若0 则0 xyC表 示 直 线0 xyC上 方 的 区域 0 xyC表 示 直 线 0 xyC 下方的区域 若0 则0 xyC表 示 直 线0 xyC下 方 的 区域 0 xyC表 示 直 线 0 xyC 上方的区域 二 由
13、A的符号来确定 先把 x 的系数 A 化为正后 看不等号方向 若是 号 则0 xyC所表示的区域为直线l 0 xyC的右边部分 若是 号 则0 xyC所表示的区域为直线l 0 xyC的左边部分 三 确定不等式组所表示区域的步骤 画线 画出不等式所对应的方程所表示的直线 定测 由上面 一 二 来确定 求交 取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分 例题 画出不等式组 250 35 250 xy yx yx 所表示的平面区域 解 略 40 线性约束条件 由x y的不等式 或方程 组成的不等式组 是x y的线性约束条件 目标函数 欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x y的解析式 线性目标函数 目标函
14、数为x y的一次解析式 14 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解 满足线性约束条件的解 x y 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 41 设 a b是两个正数 则 2 ab 称为正数 a b的算术平均数 ab称为正数 a b的几何平均数 42 均值不等式定理 若0a 0b 则2abab 即 2 ab ab 43 常 用 的 基 本 不 等 式 22 2 ababa bR 22 2 ab aba bR 2 0 0 2 ab abab 2 22 22 abab a bR 44 极值定理 设x y都为正数 则有 若xys 和为定值 则当 xy时 积xy 取得最大值 2 4 s 若 xyp 积为定值 则当xy 时 和xy取得最小值2p 例题 已知 5 4 x 求函数 1 42 45 fxx x 的最大值 解 5 4 x 450 x 由原式可以化为 1111 4552 54 3 54 3 54 3132 45545454 fxxxxx xxxx 当 1 54 54 x x 即 2 54 1x 3 1 2 xx 或舍 去 时取到 号 也就是说当1x时有 max 2fx
