分块矩阵求逆和应用

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1、下载可编辑目 录 摘要 (1)引言 (2)一、 概述 (2)二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节 分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节 33分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14)结束语 (21)分块矩阵求逆及其应用李东生（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块

2、矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件Begging the negative m

3、atrix to a matrix of the cent and its applyingLi Dongsheng(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usua

4、lly meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So

5、 it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediat

6、ely, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the negative formula a

7、re explored in the 2 ranks to divide a piece of matrix. In the basis of research method of 2 rank to divide a piece of matrix, the character of inverse, and begging the negative formula in 3 ranks to divide a piece of matrix are successfully proved, and also be summed up the method of begging the ne

8、gative .In addition of this, this thesis not only lays particular emphasis on the theories research, but also deals of high level matrix of typical model which are used in the thesis, and how they divide the piece to make begging negative process more simple is also be analyzed . The process of how

9、to solve is also given. “Theories contact actual” is real attained in this thesis. key words: the method of dividing the matrix into pieces; a matrix of cent ; negative matrix ; the condition that the matrix has a negative matrix.引 言我们在处理一些多元线性方程组时，常常用系数矩阵，而且一般情况下，它们的阶数较高，在求解过程中，我们还要常常要求它们的逆若要用普通的初等

10、变换法，或求伴随矩阵法求逆都很麻烦这时我们就应该考虑用分块矩阵法求矩阵的逆我们知道并不是所有的矩阵都有逆，我们要求逆就应该判断矩阵是否可逆，然后再求逆本文首先介绍了分块矩阵的定义以及常用的分块方法，重点介绍分块矩阵和分块矩阵的可逆性存在条件，并给出了普遍使用的求逆公式，而且文中还举了一些有代表性的例题，并讨论是如何分块，如何应用求逆公式的一 概述 分块矩阵的定义在处理级数较高的矩阵是常用矩阵分块的方法我们可以把大矩阵看成是由小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样特别在运算中，把这些小矩阵当作数来处理，这就是所谓的矩阵分块而把这样的矩阵就叫做分块矩阵 常用的矩阵分块方法 找零块例如可分块为 可表

11、示为型 找相同块例如 可分块为可表示为型 找单位块例如可分块为可表示为型（这里的表示阶单位阵,本文中的I都表示单位阵） 化为分块上（下）三角阵例如可分块为 可表示为型 化为分块对角阵例如可分块为 可表示为型在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵与矩阵相乘时，对的一个分块方式，可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种

12、分块方式使运算更加简便例如？解：我们可以把分块为 而这时若只考虑乘法的相容性，可以分块为，或但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便. 矩阵的逆定义：n阶方阵可逆，如果有n阶方阵，使，这里的是n阶单位阵而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆二 分块矩阵的求逆及其应用第一节 分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用首先我们从最简单的22分块矩阵开始研究,如何求22分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式.设,A为n阶矩阵,B与C分别为nm和mn矩阵,D为m阶矩

13、阵.定理1.若A可逆,则M可逆可逆.这时证明: 由 = 故存在. 由 即 由可逆,可知存在.=, 故 存在. 定理2. 若D可逆,则M可逆可逆,这时 证明方法同定理1,在此略去证明过程.在此,我们还可以得出推论:推论1:若B可逆,则M可逆 可逆推论2:若C可逆,则M可逆 可逆通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究

14、的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下22分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及其可逆公式是什么形式的.1. 分块矩阵中含有3个零块 即 、 、 、这种情况下,分块矩阵是不可逆的.以第一种情况为例若A可逆,而=0,是不可逆的 M= 不可逆.(若A不可逆,那么M就更不可逆了)2. 分块矩阵中有两个零块. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即和,则这种分块矩阵不可逆. 由定理1可知,在中若存在, =0不可逆.M不可逆. 由推论1可知,在中若存在, =0不可逆.M不可逆.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 和 , 由定理1可知,在中若存在, =D,只有当D可逆时,M才可逆.代入求逆公式得 ,反过来,若D可逆,也只有A可逆时,M才可逆. 同前面的一样.由推论1可知,在中若存在, =C,只有当C可逆时,M才可逆, 此时 可以用下面的方法求出上面的,设=则 = 3. 分块矩阵中只有一个零块