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1、第1课时均值不等式 第三章 3 2均值不等式 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 理解均值不等式的内容及证明 2 能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小 3 能初步运用均值不等式证明简单的不等式 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1 自主学习 PARTONE 知识点二均值不等式常见推论1 均值定理如果a b R 那么 当且仅当a b时 等号成立 以上结论通常称为 定理 又叫均值不等式 均值定理可叙述为 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值 知识点一算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a b 数叫做a b的算术平均值 数叫做a b的几何平均值 两
2、个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值 均值 2 常见推论 3 a2 b2 c2 ab bc ca a b c R 1 对于任意a b R a2 b2 2ab 思考辨析判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2 题型探究 PARTTWO 题型一常见推论的证明 例1证明不等式a2 b2 2ab a b R 证明 a2 b2 2ab a b 2 0 a2 b2 2ab 引申探究 方法二由例1知 a2 b2 2ab 证明由例1 得a2 b2 2ab 2 a2 b2 a2 b2 2ab 当且仅当a b时 取等号 反思感悟 1 作差法与不等式性质在证明中常用 注意培养应用意识
3、 2 不等式a2 b2 2ab和均值不等式 成立的条件是不同的 前者要求a b都是实数 后者要求a b都是正数 题型二用均值不等式证明不等式 例2已知x y都是正数 当且仅当x y时 等号成立 2 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 x y x2 y2 x3 y3 即 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 当且仅当x y时 等号成立 反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 1 策略 从已证不等式和问题的已知条件出发 借助不等式的性质和有关定理 经过逐步的逻辑推理 最后转化为所求问题 其特征是以 已知 看 可知 逐步推向 未知 2 注意事项 多次使用均值不等式时 要注意等
4、号能否成立 同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法 证明不等式时注意使用 对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合 形成均值不等式模型 再使用 跟踪训练2已知a b c都是正实数 求证 a b b c c a 8abc 证明 a b c都是正实数 即 a b b c c a 8abc 当且仅当a b c时 等号成立 题型三用均值不等式比较大小 例3某工厂生产某种产品 第一年产量为A 第二年的增长率为a 第三年的增长率为b 这两年的平均增长率为x a b x均大于零 则 解析第二年产量为A A a A 1 a 第三年产量为A 1 a A 1 a b A 1 a 1 b 若平均增长率为x 则第
5、三年产量为A 1 x 2 依题意有A 1 x 2 A 1 a 1 b a 0 b 0 x 0 综合 有P Q R A R P QB P Q RC Q P RD P R Q 解析 a b 1 lga lgb 0 核心素养之逻辑推理 HEXINSUYANGZHILUOJITUILI 演绎 从一般到特殊 x 1 x 1 0 当且仅当x 1时 等号成立 3 达标检测 PARTTHREE 1 若0 a b 则下列不等式一定成立的是 1 2 3 4 5 解析 0a b b a 0 ab a2 2 下列各式中 对任何实数x都成立的一个式子是 解析对于A 当x 0时 无意义 故A不恒成立 对于B 当x 1时
6、x2 1 2x 故B不成立 对于D 当x 0时 不成立 1 2 3 4 5 3 四个不相等的正数a b c d成等差数列 则 1 2 3 4 5 解析因为a b c d成等差数列 则a d b c 又因为a b c d均大于0且不相等 1 2 3 4 5 4 lg9 lg11与1的大小关系是A lg9 lg11 1B lg9 lg11 1C lg9 lg11 1D 不能确定 解析 lg9 0 lg11 0 即lg9 lg11 1 1 2 3 4 5 5 设a 0 b 0 给出下列不等式 其中恒成立的是 填序号 1 2 3 4 5 当且仅当a b 1时 等号成立 故 恒成立 当且仅当a b时 等号成立 故 恒成立 当a 3时 a2 9 6a 故 不恒成立 综上 恒成立的是 课堂小结 KETANGXIAOJIE 2 在利用均值不等式证明的过程中 常需要把数 式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数 式 以便于利用均值不等式
