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1、预习课本P911,思考并完成以下问题 1什么是充分条件、必要条件?2什么是充要条件?1充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2充要条件若pq且qp,则记作pq,此时p是q的充分必要条件,简称充要条件1判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)x1是(x1)(x2)0的充分条件()(2)是sin 的必要条件()(3)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题()(4)“若綈p,则綈q”是真命题,则p是q的必要条件()答案:(1)(2)(3)(4)2已
2、知向量a(x1,2),b(2,1),则ab的充要条件是()AxBx1Cx5 Dx0答案:D3设集合Mx|0x3,Nx|00,b0”是“ab0”的_条件(填“充分”或“必要”)答案:充分充分条件、必要条件、充要条件的判断典例(1)(2017天津高考)设xR,则“2x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(3)如果x,y是实数,那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要条件B充
3、分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析(1)由2x0,得x2,由|x1|1,得0x2.0x2x2,x2/ 0x2,故“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件(2)mn,mnnn|n|2.当0,n0时,mn0.反之,由mn|m|n|cosm,n0cosm,n0m,n,当m,n时,m,n不共线故“存在负数,使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件(3)命题“若xy,则cos xcos y”等价于命题“若cos xcos y,则xy”,这个命题是假命题,故xy/ cos xcos y;命题“若cos xcos y,则xy”等价于命题“若xy,则cos xcos y”,这个命题是真
4、命题,故cos xcos yxy.故“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件答案(1)B(2)A(3)C充要条件的判断方法(1)定义法:分清条件p和结论q:分清哪个是条件,哪个是结论;找推式:判断“pq”及“qp”的真假;下结论:根据定义下结论(2)等价法:将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题(3)集合法:写出集合Ax|p(x)及B x|q(x),利用集合之间的包含关系加以判断用集合法判断时,要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度活学活用1在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“ab”是“sin
5、Asin B”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析:选A由正弦定理,得,故absin Asin B,选A.2指出下列各组命题中,p是q的什么条件(1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形;(2)p:(x1)2(y2)20,q:(x1)(y2)0.解:(1)四边形的对角线相等/ 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形/ 四边形的对角线相等,p是q的既不充分也不必要条件(2)(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0,而(x1)(y2)0/ (x1)2(y2)20,p是q的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用典例已知p:实数x满足x24a
6、x3a20,其中a0;q:实数x满足x2x60.若綈p是綈q的必要条件,求实数a的取值范围解由x24ax3a20且a0得3axa,所以p:3axa,即集合Ax|3axa由x2x60得2x3,所以q:2x3,即集合Bx|2x3因为綈q綈p,所以pq,所以AB,所以a0,所以a的取值范围是.一题多变1变条件本例中条件“a0”,若綈p是綈q的充分条件,求实数a的取值范围解:由x24ax3a20得ax3a,所以p:ax3a,即集合Ax|ax3a由x2x60得2x3,所以q:2x3,即集合Bx|2x3因为綈p綈q,所以qp,所以BA,所以2变条件将“q:实数x满足x2x60”改为“q:实数x满足x23x
7、0”其他条件不变,求实数a的取值范围解:由x24ax3a20且a0得3axa.所以p:3axa,即集合Ax|3axa由x23x0得3x0,所以q:3x0,即集合Bx|3x0因为綈q綈p,所以pq,所以AB,所以1a0.所以a的取值范围是1,0)充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解 充要条件的证明典例证明:一元二次方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.证明(1)充分性:ac0,0.方程ax2b
8、xc0有两个实数根设方程ax2bxc0的两个根分别为x1,x2,则x1x20,x1x20,ac0.故一元二次方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是acy,求证:0.证明:(1)必要性:由,得0,即y,得yx0.(2)充分性:由xy0及xy,得,即.综上所述,0.层级一学业水平达标1设p:x3,q:1xb成立的充分不必要条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3解析:选A由ab1b,从而ab1ab;反之,如a4,b3.5,则43.5/43.51,故ab/ab1,故A正确3已知a,b是实数,则“|ab|a|b|”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D
9、既不充分也不必要条件解析:选B因为|ab|a|b|a22abb2a22|ab|b2|ab|abab0,而由ab0不能推出ab0,由ab0能推出ab0,所以由|ab|a|b|不能推出ab0,由ab0能推出|ab|a|b|,故选B.4设R,则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析:选A0时,函数f(x)cos(x)cos x是偶函数,而f(x)cos(x)是偶函数时,k(kZ)故“0”是“函数f(x)cos(x)为偶函数”的充分不必要条件5使|x|x成立的一个必要不充分条件是()Ax0 Bx2xClog2(
10、x1)0 D2x1解析:选B|x|xx0,选项A是充要条件选项C、D均不符合题意对于选项B,由x2x得x(x1)0,x0或x1.故选项B是使|x|x成立的必要不充分条件6如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的_条件解析:因为逆否命题为假,所以原命题为假,即A/ B.又因否命题为真,所以逆命题为真,即BA,所以A是B的必要不充分条件答案:必要不充分7条件p:1xa,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是_解析:p:x1,若p是q的充分不必要条件,则pq,但,也就是说,p对应集合是q对应集合的真子集,所以a2且y3”是“xy5”的充要条件;b24ac0是一元二次不等式ax2bxc2且y3时,xy5成立,反之不一定,如x0,y6.所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件;不等式解集为R的充要条件是a0且b24ac0,y0.所以“lg xlg y0”成