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1、.word格式,22函数的最大(小)值及其应用曾劲松学习目标1会用函数图象或函数性质研究函数的最大(小)值2会用换元法研究复合函数的最大(小)值3会用方程思想研究复合函数的最大(小)值4能利用函数与求简单的分式函数的最值5对“不等式恒成立”与“不等式有解”这两种题型能利用函数思想进行等价转化一、夯实基础基础梳理最大值和最小值最大值最小值条件一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:于_的,都有_存在,使得_结论称是函数的最大值称是函数的最小值几何意义图象上最_点的纵坐标图象上最_点的纵坐标题型一 图象法求函数最值题型二 利用单调性求函数的最值题型三 函数最值的实际应用基础达标1函数,最大值是
2、( )ABCD2函数的图象关于直线对称,那么在函数值,中,最小听一个不可能是( )ABCD3函数的最大值是( )ABCD4设,在区间上的最大值与最小值之差为,则( )ABCD5若函数没有最小值,则实数的取值范围是_二、学习指引自主探究1(1)给出二次函数,我们知道,它对应的抛物线开口向上,对称轴位置不确定你在求在闭区间上的最大值时,应该分哪几种情况讨论?如果是求最小值呢?你这样分类的理由是什么?(2)若二次函数,的最大值在处取得,则系数,应满足什么条件,请结合函数图象加以说明2(1)回顾函数最小值的定义,用定义的方法证明函数在上的最小值为,并指出取最小值时的值(2)利用(1)的结论及函数的奇偶
3、性,证明函数在上的最大值为,并指出取最小值时的值(3)借用以上结论求的最小值3若函数是奇函数,函数有最大值,最小值,你能否求出的值?的图象有何特点?4“不等式恒成立”与“不等式有解”问题通常中转化为函数的最值来解决已知定义在上的函数最大值为,最小值为,请将下列问题等价转化:原问题等价转化对一切恒成立E对一切恒成立存在,使不等式成立存在,使不等式成立注:如果函数在上没有最大(小)值,或不等式由“”变成“”时,要特别小心分析想一想所有的单调函数都有最值吗?案例分析1分别求函数在下列范围上的最大值、最小值(1)1;(2);(3)【解析】,抛物线的顶点为,对称轴为直线(1)由图(一)知,当时,随的增大
4、而增大当时,有最小值;当时,有最大值1(2)由图(二)知,当时,随4的增大而减小当时, 有最大值1;当时,有最小值(3)由图(三)知,当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大当时,有最小值再比较与的函数值可知,当时,有最大值2已知函数,的最大值为,求的值【解析】,抛物线的对称轴为直线区间的中点为 当,即时,函数在处有最大值,即,解得;当,即时,函数在处有最大值,即,解得综上所述:或3画出函数的图象,并回答下列问题:(1)若关于的不等式恒成立,求的取值范围;(2)若关于的不等式有解,求的取值范围【解析】函数可化为:函数图象如右容易看出,有最大值,最小值函数的最大值为4,最小值为(1)作出函数的
5、图象,要使不等式恒成立,的图象必须恒在的图象的上方,这等价于的最小值大于,即实数的取值范围是(2)要使不等式有解,就必须保证的图象存在点在的图象上方只需的最大值大于,即实数的取值范围是4函数,若对一切,恒有,求实数的取值范围【解析】设,易知在上单调递增,从而的最大值为对一切,恒有对一切,恒有,所以,三、能力提升能力闯关1函数,在时取得最小值,则的取值范围是_2若不等式对于一切成立,求的最小值是拓展迁移1已知函数,当时,恒成立,求实数的最小值2定义在上的单调函数满足,且对任意的,都有(1)求主:是奇函数;(2)若对任意的恒成立,求的取值范围挑战极限1(2012年湖南)已知两条直线各,与函数的图像
6、从左至右相交于点,与函数的图像从左至右相交于,记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时,的最小值为( )ABCD课程小结1函数的最大值就是函数图象上最高点纵坐标,最小值就是函数图象上最低点的纵坐标,所以如果能够画出函数图象,则我们容易得到时函数最值点的位置2函数的单调性与函数最值密切相关,若函数在定义域上单调,则函数的最值必在端点发生3不等式恒成立可等价转化为;不等式恒成立可等价转化为在解决“恒成立”与“存在有解”的两种类型的问题时,可以利用数形结合的方法来帮助思考4对形如形式的分式函数,我们一般使用换元法求其值域或最值,具体步骤如下:(1)令,把变形为形式;22函数的最大(小)值及其应用基础
7、梳理任意高低基础达标1C【解析】当时,函数在定义域上单调递增,;当时,函数在定义域上单调递减,;当时,函数为常函数,综上所述:2B【解析】若,函数是开口向上的二次函数,在函数值,中,最小,若,函数是开口向下的二次函数,在函数值,中,最小,综上,不可能最小3D【解析】令,显然,当且仅当时等号成立,所以函数的最大值是4D【解析】,在区间上单调递增,所以由题充有,5【解析】方法一:若,不符合题意;若,函数值域为,无最小值,所以实数的取值范围是方法二:与轴有交点,从而自主探究1【解析】(1)求最大(小)值的关键是弄清给定区间上函数的单调性,分类的目的就是为了明确函数在的单调性,若求最大值,则分两种情况
8、:当时,最大值为;当时,最大值为若求最小值,则分三种情况:当时,最小值为;当,最小值为;当,最小值为(2)若,则图象为开中向上的抛物线,横坐标离对称轴越远,函数数值越大,因此已知等价于在区间上,离对称轴最远,因此对称轴应落在区间中点的右侧,即应有,若,则图象为开口向下的抛物线,横坐标离对称轴越近,函数值越大,因此已知等价于在区间上,离对称轴线,横坐标对称轴越近,函数值越大,因此已知等价于在区间上,离对称轴最近,因此有,综上所述,系数,应满足的条件是或2【解析】(1)任取,则(当且仅当时取等号)又,从而,即当时, 的最小值为方法二:设最小值为,则在恒成立由得,上式恒成立,且能取到等号,则二次函数
9、开口向上且与轴只有一个交点从而,即(负数舍去),此时(2)任取,则由(1)知,是奇函数,当时,的最大值为(3)先将化为的形式(配凑法)其它变形方法:(换元法)设,则,后略(待定系数法)令,则比较可得所以,后略3,有最大值,最小值,的最大值、最小值分别是,函数是奇函数,所以由于是奇函数,图象关于原点对称,从而的图象关于点对称说明:利用的图象关于点对称也可以得其最大值与最小值的关系4【解析】原问题等价转化对一切恒成立对一切恒成立存在,使不等式成立存在,使不等式成立想一想不一定,如没有最值能力闯关1【解析】当时,是一次函数,且随的增大而减小,符合题意;当时,为二次函数,且开口向上,对称轴为,横坐标离
10、对称轴越近,相应的纵坐标越小,所以是区间距离对称轴最近的横坐标,故必须,又,解得,当时,同样的方法分析得,又,解得,综上所述,的取值范围是2【解析】方法一:时,令,所以时,在上恒成立,所以,的最小值为方法二:设,问题转化为,后略拓展迁移1【解析】记,由题知,当时,恒成立为增函数,为减函数,在上为增函数,时,所以在上恒成立,当且仅当,即故实数的最小值2【解析】(1)对任意的,都有令,得,令,得,是奇函数数(2),所以单调函数为上单调增函数,又是奇函数;即对任意的恒成立方法一:令,即对任意的恒成立令其对称轴当时,即时,符合题意当时,即时,对任意恒成立,则解得综上所述,时,对任意的恒成立方法二:,记右边为,问题转化为令,则,这表明的最小值为综上所述,时,对任意的恒成立挑战极限1B【解析】在同一坐标系中作出,图像如下图,由,得,得,依照题意得,(也可用判别式求法最值), 专业.专注 .