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1、.word格式,22函数的最大（小）值及其应用曾劲松学习目标1会用函数图象或函数性质研究函数的最大（小）值2会用换元法研究复合函数的最大（小）值3会用方程思想研究复合函数的最大（小）值4能利用函数与求简单的分式函数的最值5对“不等式恒成立”与“不等式有解”这两种题型能利用函数思想进行等价转化一、夯实基础基础梳理最大值和最小值最大值最小值条件一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：于_的，都有_存在，使得_结论称是函数的最大值称是函数的最小值几何意义图象上最_点的纵坐标图象上最_点的纵坐标题型一 图象法求函数最值题型二 利用单调性求函数的最值题型三 函数最值的实际应用基础达标1函数，最大值是
2、（ ）ABCD2函数的图象关于直线对称，那么在函数值，中，最小听一个不可能是（ ）ABCD3函数的最大值是（ ）ABCD4设，在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）ABCD5若函数没有最小值，则实数的取值范围是_二、学习指引自主探究1（1）给出二次函数，我们知道，它对应的抛物线开口向上，对称轴位置不确定你在求在闭区间上的最大值时，应该分哪几种情况讨论？如果是求最小值呢？你这样分类的理由是什么？（2）若二次函数，的最大值在处取得，则系数，应满足什么条件，请结合函数图象加以说明2（1）回顾函数最小值的定义，用定义的方法证明函数在上的最小值为，并指出取最小值时的值（2）利用（1）的结论及函数的奇偶
3、性，证明函数在上的最大值为，并指出取最小值时的值（3）借用以上结论求的最小值3若函数是奇函数，函数有最大值，最小值，你能否求出的值？的图象有何特点？4“不等式恒成立”与“不等式有解”问题通常中转化为函数的最值来解决已知定义在上的函数最大值为，最小值为，请将下列问题等价转化：原问题等价转化对一切恒成立E对一切恒成立存在，使不等式成立存在，使不等式成立注：如果函数在上没有最大（小）值，或不等式由“”变成“”时，要特别小心分析想一想所有的单调函数都有最值吗？案例分析1分别求函数在下列范围上的最大值、最小值（1）1；（2）；（3）【解析】，抛物线的顶点为，对称轴为直线（1）由图（一）知，当时，随的增大
4、而增大当时，有最小值；当时，有最大值1（2）由图（二）知，当时，随4的增大而减小当时， 有最大值1；当时，有最小值（3）由图（三）知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大当时，有最小值再比较与的函数值可知，当时，有最大值2已知函数，的最大值为，求的值【解析】，抛物线的对称轴为直线区间的中点为 当，即时，函数在处有最大值，即，解得；当，即时，函数在处有最大值，即，解得综上所述：或3画出函数的图象，并回答下列问题：（1）若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）若关于的不等式有解，求的取值范围【解析】函数可化为：函数图象如右容易看出，有最大值，最小值函数的最大值为4，最小值为（1）作出函数的
5、图象，要使不等式恒成立，的图象必须恒在的图象的上方，这等价于的最小值大于，即实数的取值范围是（2）要使不等式有解，就必须保证的图象存在点在的图象上方只需的最大值大于，即实数的取值范围是4函数，若对一切，恒有，求实数的取值范围【解析】设，易知在上单调递增，从而的最大值为对一切，恒有对一切，恒有，所以，三、能力提升能力闯关1函数，在时取得最小值，则的取值范围是_2若不等式对于一切成立，求的最小值是拓展迁移1已知函数，当时，恒成立，求实数的最小值2定义在上的单调函数满足，且对任意的，都有（1）求主：是奇函数；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围挑战极限1（2012年湖南）已知两条直线各，与函数的图像
6、从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于，记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最小值为（ ）ABCD课程小结1函数的最大值就是函数图象上最高点纵坐标，最小值就是函数图象上最低点的纵坐标，所以如果能够画出函数图象，则我们容易得到时函数最值点的位置2函数的单调性与函数最值密切相关，若函数在定义域上单调，则函数的最值必在端点发生3不等式恒成立可等价转化为；不等式恒成立可等价转化为在解决“恒成立”与“存在有解”的两种类型的问题时，可以利用数形结合的方法来帮助思考4对形如形式的分式函数，我们一般使用换元法求其值域或最值，具体步骤如下：（1）令，把变形为形式；22函数的最大（小）值及其应用基础
7、梳理任意高低基础达标1C【解析】当时，函数在定义域上单调递增，；当时，函数在定义域上单调递减，；当时，函数为常函数，综上所述：2B【解析】若，函数是开口向上的二次函数，在函数值，中，最小，若，函数是开口向下的二次函数，在函数值，中，最小，综上，不可能最小3D【解析】令，显然，当且仅当时等号成立，所以函数的最大值是4D【解析】，在区间上单调递增，所以由题充有，5【解析】方法一：若，不符合题意；若，函数值域为，无最小值，所以实数的取值范围是方法二：与轴有交点，从而自主探究1【解析】（1）求最大（小）值的关键是弄清给定区间上函数的单调性，分类的目的就是为了明确函数在的单调性，若求最大值，则分两种情况
8、：当时，最大值为；当时，最大值为若求最小值，则分三种情况：当时，最小值为；当，最小值为；当，最小值为（2）若，则图象为开中向上的抛物线，横坐标离对称轴越远，函数数值越大，因此已知等价于在区间上，离对称轴最远，因此对称轴应落在区间中点的右侧，即应有，若，则图象为开口向下的抛物线，横坐标离对称轴越近，函数值越大，因此已知等价于在区间上，离对称轴线，横坐标对称轴越近，函数值越大，因此已知等价于在区间上，离对称轴最近，因此有，综上所述，系数，应满足的条件是或2【解析】（1）任取，则（当且仅当时取等号）又，从而，即当时， 的最小值为方法二：设最小值为，则在恒成立由得，上式恒成立，且能取到等号，则二次函数
9、开口向上且与轴只有一个交点从而，即（负数舍去），此时（2）任取，则由（1）知，是奇函数，当时，的最大值为（3）先将化为的形式（配凑法）其它变形方法：（换元法）设，则，后略（待定系数法）令，则比较可得所以，后略3，有最大值，最小值，的最大值、最小值分别是，函数是奇函数，所以由于是奇函数，图象关于原点对称，从而的图象关于点对称说明：利用的图象关于点对称也可以得其最大值与最小值的关系4【解析】原问题等价转化对一切恒成立对一切恒成立存在，使不等式成立存在，使不等式成立想一想不一定，如没有最值能力闯关1【解析】当时，是一次函数，且随的增大而减小，符合题意；当时，为二次函数，且开口向上，对称轴为，横坐标离
10、对称轴越近，相应的纵坐标越小，所以是区间距离对称轴最近的横坐标，故必须，又，解得，当时，同样的方法分析得，又，解得，综上所述，的取值范围是2【解析】方法一：时，令，所以时，在上恒成立，所以，的最小值为方法二：设，问题转化为，后略拓展迁移1【解析】记，由题知，当时，恒成立为增函数，为减函数，在上为增函数，时，所以在上恒成立，当且仅当，即故实数的最小值2【解析】（1）对任意的，都有令，得，令，得，是奇函数数（2），所以单调函数为上单调增函数，又是奇函数；即对任意的恒成立方法一：令，即对任意的恒成立令其对称轴当时，即时，符合题意当时，即时，对任意恒成立，则解得综上所述，时，对任意的恒成立方法二：，记右边为，问题转化为令，则，这表明的最小值为综上所述，时，对任意的恒成立挑战极限1B【解析】在同一坐标系中作出，图像如下图，由，得，得，依照题意得，（也可用判别式求法最值）, 专业.专注 .
