二次根式的概念及性质

《二次根式的概念及性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次根式的概念及性质（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 愉快教育 成功教育1卓越教育 VIP 个性化教案学生姓名 王晓佛 年级 八 学科 数学 授课时间 2014.7.31 教师姓名 钟旭 课时 3 教学课题 二次根式的概念及性质教学目标1. 知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，理解二次根式的概念，并利用 的a（ 0）意义解答具体题目；2. 了解最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式化成最简二次根式.教学重、难点 二次根式 的内涵；确定二次根式中字母的取值范围； 是一个非负数；a（ 0） （ ）= 、 = 及其运用2()（ ） 2a（ 0）【教学过程】一、复习引入1、什么叫平方根？开平方？ 2、平方根如何表示？3、求下列各数的平方根： （1

2、）24； （2）0.16； （3） . 9254、求下列各数的正平方根： （1）225; （2）0.0001； （3） .1685、根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：2cmS= S= acm2(3)bcm32cm直角三角形的斜边长是_；正方形的边长是_；等边三角形的边长是_。问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？二、探索新知1二次根式的定义 :很明显 5 题中上述得数都是一些正数的算术平方根像这样表示的算术平方根，且二次根号内含有字母的代数式叫做二次根式。因此，一般地，我们把形如 (a0)的代数式叫做二次根式 . “ ”称为二次根号a2. 二次根式有意义的条

3、件 ：被开方数大于或等于零.注意： 二次根式都含有二次根号“ ”； 在二次根式中，被开方数 必须满足 ，当 时，根式无意义；a0a 在二次根式中， 可以是数也可以是单项式、多项式、分式等代数式； 二次根式 是 的算术平方根，所以 .(0)2例 1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2、 3、 1x、 （x0） 、 0、 42、- 、 、 1xy、 （x0，y0） 2)0(b 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0： 是不是二次根式？ 呢？A1a1a这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；而 这类代23x数式，应把 这些二次根式

4、看作系数或常数项，整个代数式仍看作整式.2,3例 2. 求下列二次根式中字母 a 的取值范围：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . a1a1a2(3)a 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于或等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零.例 3. 已知 x 满足 ，那么 的值为（ ） 20132014xx2013A2012 B2013 C2014 D20153. 二次根式的性质 :(1) 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.2()(0);a(2) 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.()a 注意：（1）二次根式的性质公式 （

5、）是逆用平方根的定义得出的结论. 上面的公式也可以反过来应用：若 ，则 ，如： ， .（2） 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；（3） 不是等于 a，而是等于 ，再根据 a 的正、负来进行化简.2: A2()与 有 区 别 吗 ？a（1）不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的， ，而.（2）相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 .3例 4. 已知 ，则

6、 的结果是_2x24x例 5.将 根号外的 a 移到根号内，得 ( )A. B. C. D. 4. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： 被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式.例 6. 在下列二次根式 ， 中最简二次根式有_例 7. 已知 ，则 化为最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 5.同类二次根式：（1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同.（2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方

7、法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变.例 8. 最简二次根式 与 是同类二次根式，则 x 等于（ ）A. 0 B.1 C.2 D. 3例 9.与 （a0，b0）不是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 6. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 （一化，二找，三合并）（3）二次根式的乘除法

8、：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab= （a0 ，b0） ； ba（b0，a0） （4）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：4 观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式” ，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式” 。 观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律

9、和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。三、课堂练习1.求出下列代数式中字母的取值范围：（1） ； （2） ； (3) ； （4） 23x+ 1.23a1a153xx2.求式子 有意义时 x 的取值范围.5x3. 根式 1) 22;)3;4)75xabyabc，最简二次根式是（ ）A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)4.已知： 。 2,2181 xyxyxy5. 把（ab） 化成最简二次根式 . 1a b6. 计算：7. 先化简，再求值：1()baa，其中 a= 512，b= 8.如图，实数 、 在数轴上的位置，化简： .ab22()aba59. 化简下列各式：（1） （2

10、）4235610. 已知 ab0，a+b=6 ab，则 b的值为（ ）A 2 B2 C D 1211. 甲、乙两个同学化简 时，分别作了如下变形：甲： = = ；乙： = . 其中， （ ）A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确四、课后作业一、填空题：1、 的平方根是 ； 的算术平方根是 ； 的立方根是 ；2814932162、当 时， 无意义； 有意义的条件是 。a23a3x3、如果 的平方根是2，那么 。4、最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ， 。b416ab5、如果 ，则 、 应满足 。aa)(3b6、把根号外的因式移到根号内： ；当 0 时，

11、； 。xa1)(7、若 ，则 。04.m2m8、若 0，化简： 。3二、选择题：1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（ ）A、1 B、0 C、 1 D、0 和 12、在 、 、 、 、 中，最简二次根式的个数是（ ）36x25.xa325A、1 B、2 C、 3 D、43、下列说法正确的是（ ）A、0 没有平方根 B、1 的平方根是1C、4 的平方根是2 D、 的算术平方根是 324、 的算术平方根是（ ）6A、6 B、6 C 、 D、6665、对于任意实数 ，下列等式成立的是（ ）aA、 B、 C、 D、2a2 a224a6、设 的小数部分为 ，则 的值是（ ）7b)4(A、1 B、是一个无理数 C、3 D、无法确定7、若 ，则 的值是（ ）2x12xA、 B、 C、2 D、 128、如果 1 ，则 的值是（ ）a2aaA、 B、 C、 D、1669、二次根式： ； ； ； ； 中最简二次根式是（ 29x)(b2ax175.0）A、 B、 C、 D、只有三、计算题：1、 ；2590.2、 ；2373、 。1025四、若 、 为实数，且 ，化简： 。abaab24212五、如果 的小数部分是 ， 的小数部分是 ，试求 的值。1a1b六、已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，求 AB 的 次方根。342baA923baBn七、已知正